Решите квадратное неравенство 3x-6x^2 >0

Чтобы решить квадратное неравенство (3x - 6x^2 > 0), начнем с его преобразования.

1. Приведем неравенство к стандартному виду. Сначала можем вынести общий множитель из левой части: [ 3x - 6x^2 = 3x(1 - 2x) ] Таким образом, неравенство можно записать как: [ 3x(1 - 2x) > 0 ]

2. Найдем нули произведения. Для этого приравняем каждую часть к нулю: [ 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ] [ 1 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} ] Таким образом, нулями функции являются (x = 0) и (x = \frac{1}{2}).

3. Построим числовую прямую и определим интервалы. Мы имеем два нуля, что делит числовую прямую на три интервала:

   • ( (-\infty, 0) )
   • ( (0, \frac{1}{2}) )
   • ( (\frac{1}{2}, +\infty) )

4. Определим знак произведения на каждом интервале. Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала:

   • Для интервала ( (-\infty, 0) ) выберем (x = -1): [ 3(-1)(1 - 2(-1)) = 3(-1)(1 + 2) = 3(-1)(3) = -9 < 0 ]
   • Для интервала ( (0, \frac{1}{2}) ) выберем (x = \frac{1}{4}): [ 3\left(\frac{1}{4}\right)\left(1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)\right) = 3\left(\frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8} > 0 ]
   • Для интервала ( (\frac{1}{2}, +\infty) ) выберем (x = 1): [ 3(1)(1 - 2(1)) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0 ]

5. Запишем результаты. Мы получили следующее:

   • На интервале ( (-\infty, 0) ) знак произведения отрицательный.
   • На интервале ( (0, \frac{1}{2}) ) знак произведения положительный.
   • На интервале ( (\frac{1}{2}, +\infty) ) знак произведения отрицательный.

6. Соберем окончательный ответ. Неравенство (3x(1 - 2x) > 0) выполняется на интервале ( (0, \frac{1}{2}) ).

Таким образом, решение неравенства (3x - 6x^2 > 0) можно записать как: [ \boxed{(0, \frac{1}{2})} ]

Для решения квадратного неравенства ( 3x - 6x^2 > 0 ), следуем стандартным шагам, чтобы найти решение.

Шаг 1. Преобразуем неравенство

Перепишем его в стандартной форме:

[ -6x^2 + 3x > 0 ]

Вынесем общий множитель ( 3x ) за скобки:

[ 3x(-2x + 1) > 0 ]

Теперь у нас есть произведение двух множителей: ( 3x ) и ( -2x + 1 ), и мы ищем, где это произведение больше нуля.

Шаг 2. Найдем корни уравнения

Чтобы найти точки, где произведение равно нулю (( = 0 )), приравняем каждый множитель к нулю:

1. ( 3x = 0 ) → ( x = 0 ),
2. ( -2x + 1 = 0 ) → ( x = \frac{1}{2} ).

Таким образом, корни уравнения: ( x = 0 ) и ( x = \frac{1}{2} ).

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: ( (-\infty; 0) ), ( (0; \frac{1}{2}) ), ( (\frac{1}{2}; +\infty) ).

Шаг 3. Определим знак произведения на каждом из промежутков

Чтобы понять, где произведение ( 3x(-2x + 1) ) положительно, подставим тестовые значения из каждого промежутка в выражение ( 3x(-2x + 1) ).

1. На промежутке ( (-\infty; 0) ): Возьмем тестовую точку, например, ( x = -1 ): [ 3(-1)(-2(-1) + 1) = 3(-1)(2 + 1) = 3(-1)(3) = -9. ] Знак отрицательный (( < 0 )).

2. На промежутке ( (0; \frac{1}{2}) ): Возьмем тестовую точку, например, ( x = \frac{1}{4} ): [ 3\left(\frac{1}{4}\right)(-2\left(\frac{1}{4}\right) + 1) = 3\left(\frac{1}{4}\right)(-0.5 + 1) = 3\left(\frac{1}{4}\right)(0.5) = \frac{3}{8}. ] Знак положительный (( > 0 )).

3. На промежутке ( (\frac{1}{2}; +\infty) ): Возьмем тестовую точку, например, ( x = 1 ): [ 3(1)(-2(1) + 1) = 3(1)(-2 + 1) = 3(1)(-1) = -3. ] Знак отрицательный (( < 0 )).

Шаг 4. Запишем решение

Произведение ( 3x(-2x + 1) > 0 ) только на промежутке, где оно положительно. Это промежуток ( (0; \frac{1}{2}) ).

Ответ:

Решение неравенства: [ x \in (0; \frac{1}{2}). ]