Решите неравенство 18x-x²

Для решения неравенства $18x-x^2>0$ начнем с преобразования его в стандартный вид. Перепишем неравенство:

$-x^2+18x>0$

Теперь умножим обе части неравенства на -1 $приэтомзнакнеравенстваизменитсянапротивоположный$:

$x^2-18x<0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $x$:

$x(x-18)<0$

Следующим шагом будет нахождение корней данного неравенства. Корни уравнения $x(x-18$ = 0 ) находятся при $x=0$ и $x=18$.

Теперь мы можем исследовать знаки произведения $x(x-18$ ) на интервалах, определяемых корнями. У нас есть три интервала:

1. $(-\mathrm{\infty },0$ )
2. $(0,18$ )
3. $(18,+\mathrm{\infty }$ )

Теперь проверим знак произведения на каждом из интервалов:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },0$ ):

   • Выберем, например, $x=-1$: $(-1)(-1-18)=(-1)(-19)=19>0$ На этом интервале знак положительный.

2. Интервал $(0,18$ ):

   • Выберем, например, $x=1$: $(1)(1-18)=(1)(-17)=-17<0$ На этом интервале знак отрицательный.

3. Интервал $(18,+\mathrm{\infty }$ ):

   • Выберем, например, $x=19$: $(19)(19-18)=(19)(1)=19>0$ На этом интервале знак положительный.

Теперь мы можем выразить решение неравенства. Поскольку нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, решение будет на интервале, где произведение отрицательно:

$x\in (0,18)$

Таким образом, ответом на неравенство $18x-x^2>0$ является:

$\boxed{{\displaystyle (0,18)}}$

Давайте решим неравенство $18x-x^2>0$.

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Перепишем $18x-x^2>0$ в стандартной форме: $-x^2+18x>0$

Для удобства умножим всё неравенство на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2-18x<0.$

Шаг 2: Вынесем общий множитель.

В левой части можно вынести $x$ за скобки: $x(x-18)<0.$

Теперь наше неравенство имеет вид: $x(x-18)<0.$

Шаг 3: Найдём нули функции.

Уравнение $x(x-18$ = 0 ) даёт нам два корня: $x=0\text{и}x=18.$

Эти значения делят числовую прямую на три промежутка: $(-\mathrm{\infty },0$ ), $(0,18$ ), $(18,+\mathrm{\infty }$ ).

Шаг 4: Определим знак на каждом промежутке.

Рассмотрим знак выражения $x(x-18$ ) на каждом из промежутков. Для этого возьмём тестовые значения из каждого интервала:

• На промежутке $(-\mathrm{\infty },0$ ): пусть $x=-1$. Тогда $x(x-18$ = $-1$$(-1$ - 18) = $-1$$-19$ = 19 > 0 ).
• На промежутке $(0,18$ ): пусть $x=1$. Тогда $x(x-18$ = $1$$(1$ - 18) = $1$$-17$ = -17 < 0 ).
• На промежутке $(18,+\mathrm{\infty }$ ): пусть $x=19$. Тогда $x(x-18$ = $19$$(19$ - 18) = $19$$1$ = 19 > 0 ).

Знак выражения чередуется на каждом из промежутков: $+,-,+$.

Шаг 5: Выберем промежутки, где выражение отрицательно.

Нас интересует, где $x(x-18$ < 0 ). Это происходит на промежутке: $x\in (0,18).$

Шаг 6: Запишем ответ.

Решением неравенства является: $x\in (0,18).$