Решите неравенство 2x-5/8 - 2x-3/5 <1 изобразите множество его решений на коордионатой прямой

Для решения неравенства (\frac{2x - 5}{8} - \frac{2x - 3}{5} < 1) сначала найдем общий знаменатель для дробей. Общие знаменатели 8 и 5 равны 40. Перепишем дроби с новым знаменателем:

[ \frac{2x - 5}{8} = \frac{5(2x - 5)}{40} = \frac{10x - 25}{40} ]

[ \frac{2x - 3}{5} = \frac{8(2x - 3)}{40} = \frac{16x - 24}{40} ]

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

[ \frac{10x - 25}{40} - \frac{16x - 24}{40} < 1 ]

Объединим дроби:

[ \frac{10x - 25 - (16x - 24)}{40} < 1 ]

Упростим числитель:

[ 10x - 25 - 16x + 24 = -6x - 1 ]

Таким образом, неравенство принимает вид:

[ \frac{-6x - 1}{40} < 1 ]

Теперь умножим обе стороны неравенства на 40 (поскольку 40 положительно, знак неравенства не меняется):

[ -6x - 1 < 40 ]

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

[ -6x < 41 ]

И разделим обе стороны на -6, не забыв поменять знак неравенства:

[ x > -\frac{41}{6} ]

Таким образом, решение неравенства:

[ x > -\frac{41}{6} ]

Теперь изобразим множество решений на координатной прямой. На прямой отметим точку (-\frac{41}{6}). Поскольку неравенство строгое (больше), точка (-\frac{41}{6}) будет открытой, а все значения (x) правее этой точки будут частью множества решений.

Графически это выглядит так:

• Открытая точка на (-\frac{41}{6})
• Линия продолжается вправо от этой точки, обозначая, что все числа больше (-\frac{41}{6}) входят в множество решений.

Таким образом, множество решений неравенства можно записать в интервале:

[ \left(-\frac{41}{6}, +\infty\right) ]

Рассмотрим заданное неравенство:

[ \frac{2x - 5}{8} - \frac{2x - 3}{5} < 1. ]

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Для работы с дробями находим общий знаменатель для знаменателей (8) и (5). Общий знаменатель — это (40). Преобразуем дроби:

[ \frac{2x - 5}{8} = \frac{5(2x - 5)}{40}, \quad \frac{2x - 3}{5} = \frac{8(2x - 3)}{40}. ]

Подставляем эти выражения в неравенство:

[ \frac{5(2x - 5)}{40} - \frac{8(2x - 3)}{40} < 1. ]

Шаг 2: Объединение дробей

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, можно объединить их в одну дробь:

[ \frac{5(2x - 5) - 8(2x - 3)}{40} < 1. ]

Раскроем скобки в числителе:

[ 5(2x - 5) = 10x - 25, \quad -8(2x - 3) = -16x + 24. ]

Складываем:

[ 10x - 25 - 16x + 24 = -6x - 1. ]

Таким образом, неравенство превращается в:

[ \frac{-6x - 1}{40} < 1. ]

Шаг 3: Устранение знаменателя

Чтобы избавиться от знаменателя (40), умножим обе части неравенства на (40) (заметим, что (40 > 0), поэтому знак неравенства не изменится):

[ -6x - 1 < 40. ]

Шаг 4: Решение линейного неравенства

Решим это линейное неравенство:

[ -6x < 40 + 1, ]

[ -6x < 41. ]

Теперь разделим обе стороны на (-6). Заметим, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

[ x > -\frac{41}{6}. ]

Шаг 5: Запись решения

Решением данного неравенства является:

[ x \in \left(-\frac{41}{6}, +\infty \right). ]

Шаг 6: Изображение на координатной прямой

На координатной прямой это множество решений изображается следующим образом:

1. Точка (-\frac{41}{6}) (примерно (-6.8333)) не включается в решение, поэтому она изображается как пустая точка.
2. Все значения справа от этой точки ((x > -\frac{41}{6})) закрашиваются (стрелка вправо).

Графически это выглядит так:

[ \circ \ \longrightarrow ]

где (\circ) — пустая точка в (-\frac{41}{6}), а стрелка указывает на все числа больше (-\frac{41}{6}).