Решите неравенство 5х²-8х+3>0

Для решения данного неравенства 5x² - 8x + 3 > 0 сначала найдем корни квадратного уравнения 5x² - 8x + 3 = 0. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = (-8)² - 4 5 3 = 64 - 60 = 4.

Дискриминант равен 4, следовательно, уравнение имеет два корня:

x₁ = (8 + √4) / 10 = 1,

x₂ = (8 - √4) / 10 = 0.6.

Теперь построим знаки функции f(x) = 5x² - 8x + 3 на интервалах (-∞, 0.6), (0.6, 1) и (1, +∞). Для этого выберем произвольные точки в каждом интервале, например, x = 0, x = 0.7 и x = 2, и подставим их в функцию:

f(0) = 50² - 80 + 3 = 3, f(0.7) = 50.7² - 80.7 + 3 ≈ 1.05, f(2) = 52² - 82 + 3 = 7.

Таким образом, на интервалах (-∞, 0.6) и (1, +∞) неравенство 5x² - 8x + 3 > 0 выполняется, а на интервале (0.6, 1) не выполняется.

Ответ: x ∈ (-∞, 0.6) ∪ (1, +∞).

Рассмотрим решение неравенства ( 5x^2 - 8x + 3 > 0 ).

Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения ( 5x^2 - 8x + 3 = 0 ). Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае: ( a = 5 ), ( b = -8 ), ( c = 3 ).

Подставим эти значения в формулу:

[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10} ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} ] [ x = \frac{8 \pm 2}{10} ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x_1 = \frac{8 + 2}{10} = 1 ] [ x_2 = \frac{8 - 2}{10} = 0.6 ]

Шаг 2: Определить интервалы, на которых выражение принимает положительные значения

Корни уравнения ( 5x^2 - 8x + 3 = 0 ) делят числовую ось на три интервала:

1. ( (-\infty, 0.6) )
2. ( (0.6, 1) )
3. ( (1, +\infty) )

Теперь исследуем знак выражения ( 5x^2 - 8x + 3 ) на каждом из этих интервалов. Для этого подставим в неравенство произвольные точки из каждого интервала.

Шаг 3: Проверим знаки на интервалах

1. Интервал ( (-\infty, 0.6) ) (возьмем точку ( x = 0 )): [ 5(0)^2 - 8(0) + 3 = 3 > 0 ] Здесь выражение положительно.

2. Интервал ( (0.6, 1) ) (возьмем точку ( x = 0.8 )): [ 5(0.8)^2 - 8(0.8) + 3 = 5 \cdot 0.64 - 8 \cdot 0.8 + 3 = 3.2 - 6.4 + 3 = -0.2 < 0 ] Здесь выражение отрицательно.

3. Интервал ( (1, +\infty) ) (возьмем точку ( x = 2 )): [ 5(2)^2 - 8(2) + 3 = 20 - 16 + 3 = 7 > 0 ] Здесь выражение положительно.

Шаг 4: Объединение интервалов

Таким образом, выражение ( 5x^2 - 8x + 3 ) положительно на интервалах ( (-\infty, 0.6) ) и ( (1, +\infty) ).

Ответ

Решением неравенства ( 5x^2 - 8x + 3 > 0 ) является объединение интервалов: [ x \in (-\infty, 0.6) \cup (1, +\infty) ]