Решите неравенство 6x^2-11x-2<0

Сначала находим корни уравнения 6x^2-11x-2=0, затем определяем знаки выражения на каждом из интервалов, образованных корнями уравнения.

Для решения неравенства (6x^2 - 11x - 2 < 0) сначала нужно решить соответствующее квадратное уравнение (6x^2 - 11x - 2 = 0).

1. Найдём корни квадратного уравнения: Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем случае (a = 6), (b = -11), (c = -2). Подставим эти значения в формулу:

   [ x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)}}{2 \cdot 6} ]

   [ x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{12} ]

   [ x = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{12} ]

   [ x = \frac{11 \pm 13}{12} ]

   Получаем два корня:

   [ x_1 = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2 ]

   [ x_2 = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} ]

2. Определим интервалы и знаки: Корни (x_1 = 2) и (x_2 = -\frac{1}{6}) делят числовую ось на три интервала. Проверим знак выражения (6x^2 - 11x - 2) на каждом из интервалов:

   • Интервал ((-\infty, -\frac{1}{6}))
   • Интервал ((-\frac{1}{6}, 2))
   • Интервал ((2, +\infty))

   Для этого возьмём контрольные точки из каждого интервала, например: (x = -1), (x = 0), (x = 3).

   • Для (x = -1): [ 6(-1)^2 - 11(-1) - 2 = 6 + 11 - 2 = 15 \quad (\text{положительное}) ]

   • Для (x = 0): [ 6(0)^2 - 11(0) - 2 = -2 \quad (\text{отрицательное}) ]

   • Для (x = 3): [ 6(3)^2 - 11(3) - 2 = 54 - 33 - 2 = 19 \quad (\text{положительное}) ]

3. Запишем решение неравенства: Учитывая, где выражение отрицательно, получаем: [ 6x^2 - 11x - 2 < 0 \quad \text{на интервале} \quad \left( -\frac{1}{6}, 2 \right) ]

Таким образом, решением неравенства (6x^2 - 11x - 2 < 0) является интервал: [ \boxed{\left( -\frac{1}{6}, 2 \right)} ]

Для решения неравенства (6x^2 - 11x - 2 < 0) нужно найти корни квадратного уравнения (6x^2 - 11x - 2 = 0). Сначала найдем дискриминант по формуле (D = b^2 - 4ac), где (a = 6), (b = -11), (c = -2):

(D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169)

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a})

(x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{12} = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2)

(x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{12} = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6})

Теперь построим график параболы (y = 6x^2 - 11x - 2) и найдем интервалы, где (y < 0). Поскольку уравнение является параболой с положительным коэффициентом при (x^2), то оно выпукло вверх. Поэтому интервалы, где (y < 0), будут между корнями уравнения (x \in (-\frac{1}{6}, 2)).

Таким образом, решением неравенства (6x^2 - 11x - 2 < 0) является множество всех действительных чисел (x), удовлетворяющих условию (-\frac{1}{6} < x < 2).