Решите неравенство: х-1/х-4 >0

Рассмотрим неравенство:

[ \frac{x - 1}{x - 4} > 0 ]

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Находим значения переменной (x), при которых выражение не определено. Дробь (\frac{x - 1}{x - 4}) не существует, если знаменатель равен нулю:

[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 ]

Следовательно, (x \neq 4). Это ограничение составляет ОДЗ: (x \in \mathbb{R} \setminus {4}).

Шаг 2. Нули числителя и знаменателя

Числитель (x - 1 = 0) при (x = 1). Это точка, где выражение обращается в ноль.

Знаменатель (x - 4 = 0) при (x = 4), но в этой точке выражение не определено (разрыв).

Таким образом, критические точки (где дробь меняет знак) — это (x = 1) и (x = 4).

Шаг 3. Разделение области определения на промежутки

Критические точки (x = 1) и (x = 4) делят числовую ось на три промежутка:

1. (x \in (-\infty; 1)),
2. (x \in (1; 4)),
3. (x \in (4; +\infty)).

Шаг 4. Определение знака выражения на каждом промежутке

Рассмотрим знак дроби (\frac{x - 1}{x - 4}) на каждом из этих промежутков. Для этого подставим тестовые значения из каждого промежутка в выражение.

1. На промежутке ((- \infty; 1)):
   Возьмём тестовую точку (x = 0):
   [ \frac{x - 1}{x - 4} = \frac{0 - 1}{0 - 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0 ]
   Знак: (+).

2. На промежутке ((1; 4)):
   Возьмём тестовую точку (x = 2):
   [ \frac{x - 1}{x - 4} = \frac{2 - 1}{2 - 4} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} < 0 ]
   Знак: (-).

3. На промежутке ((4; +\infty)):
   Возьмём тестовую точку (x = 5):
   [ \frac{x - 1}{x - 4} = \frac{5 - 1}{5 - 4} = \frac{4}{1} = 4 > 0 ]
   Знак: (+).

Шаг 5. Учитывание знака неравенства

Нас интересует, где (\frac{x - 1}{x - 4} > 0). Это выполняется на тех промежутках, где дробь положительна. Из анализа видно, что это промежутки:

1. ((- \infty; 1)),
2. ((4; +\infty)).

Шаг 6. Учет равенства нулю

Точка (x = 1) делает числитель равным нулю, а значение дроби становится равным (0). Однако (>) исключает равенство нулю, поэтому точка (x = 1) не включается в решение.

Шаг 7. Запись ответа

Объединяем все подходящие промежутки, исключая точку (x = 4) из области определения:

[ x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty) ]

Для решения неравенства (\frac{x - 1}{x - 4} > 0) сначала определим, при каких значениях (x) дробь положительна. Для этого нужно рассмотреть числитель и знаменатель дроби.

1. Найдем нули числителя: [ x - 1 = 0 \implies x = 1 ] Это значение делает числитель равным нулю.

2. Найдем нули знаменателя: [ x - 4 = 0 \implies x = 4 ] Это значение делает знаменатель равным нулю, и при этом дробь не определена.

3. Определим промежутки: Мы имеем два критических значения: (x = 1) и (x = 4). Эти значения разбивают числовую прямую на три интервала:

   • ( (-\infty, 1) )
   • ( (1, 4) )
   • ( (4, +\infty) )

4. Проверка знака дроби в каждом интервале: Теперь мы проверим знак дроби (\frac{x - 1}{x - 4}) в каждом из этих интервалов.

   • Интервал ( (-\infty, 1) ): Выберем, например, (x = 0): [ \frac{0 - 1}{0 - 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0 ] Значит, дробь положительна на этом интервале.

   • Интервал ( (1, 4) ): Выберем, например, (x = 2): [ \frac{2 - 1}{2 - 4} = \frac{1}{-2} < 0 ] Значит, дробь отрицательна на этом интервале.

   • Интервал ( (4, +\infty) ): Выберем, например, (x = 5): [ \frac{5 - 1}{5 - 4} = \frac{4}{1} > 0 ] Значит, дробь положительна на этом интервале.

5. Соберем результаты: Мы имеем следующие результаты:

   • На интервале ( (-\infty, 1) ) дробь положительна.
   • На интервале ( (1, 4) ) дробь отрицательна.
   • На интервале ( (4, +\infty) ) дробь положительна.

6. Итоговое решение: Теперь мы можем выразить решение неравенства (\frac{x - 1}{x - 4} > 0):

   • Дробь положительна на интервалах ( (-\infty, 1) ) и ( (4, +\infty) ).

Таким образом, решение неравенства будет: [ (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) ]