Решите неравенство х^2-7х+12 больше или равно 0

Для того чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти корни квадратного уравнения х^2-7х+12=0 и выяснить, в каких интервалах данное неравенство выполняется.

Сначала найдем корни уравнения х^2-7х+12=0. Для этого можно использовать метод дискриминанта или разложение на множители. Разложим данное уравнение на множители: х^2-7х+12=$х-3$$х-4$=0. Отсюда получаем два корня: х=3 и х=4.

Теперь построим знаки функции f$х$=х^2-7х+12 на числовой прямой, используя найденные корни. Видно, что функция меняет знак с положительного на отрицательный при х

Решим неравенство $x^2-7x+12\ge 0$.

1. Найдём корни квадратного уравнения $x^2-7x+12=0$: Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ В нашем случае $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

   Сначала находим дискриминант: $D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$

   Теперь найдём корни: $x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{7\pm 1}{2}$ $x_1=\frac{7+1}{2}=4,x_2=\frac{7-1}{2}=3$

2. Определим интервалы, на которых выражение $x^2-7x+12$ меняет знак: Корни разделяют числовую ось на три интервала: $(-\mathrm{\infty },3$ ), $(3,4$ ), $(4,+\mathrm{\infty }$ ).

3. Исследуем знак выражения на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала $(-\mathrm{\infty },3$ ) выберем точку $x=0$: $0^2-7\cdot 0+12=12>0$
   • Для интервала $(3,4$ ) выберем точку $x=3.5$: $(3.5{)}^2-7\cdot 3.5+12=12.25-24.5+12=-0.25<0$
   • Для интервала $(4,+\mathrm{\infty }$ ) выберем точку $x=5$: $5^2-7\cdot 5+12=25-35+12=2>0$

4. Учитываем точки, где выражение обращается в ноль: В точках $x=3$ и $x=4$: $3^2-7\cdot 3+12=9-21+12=0$ $4^2-7\cdot 4+12=16-28+12=0$

5. Определим окончательное решение: Выражение $x^2-7x+12\ge 0$ выполняется на интервалах, где оно положительно или равно нулю: $x\in (-\mathrm{\infty },3$ \cup $4,+\mathrm{\infty })$

Ответ: Решение неравенства $x^2-7x+12\ge 0$ — это $x\in (-\mathrm{\infty },3]\cup [4,+\mathrm{\infty }$ ).