Решите неравенство х^2-7х+12 больше или равно 0

Для того чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти корни квадратного уравнения х^2-7х+12=0 и выяснить, в каких интервалах данное неравенство выполняется.

Сначала найдем корни уравнения х^2-7х+12=0. Для этого можно использовать метод дискриминанта или разложение на множители. Разложим данное уравнение на множители: х^2-7х+12=(х-3)(х-4)=0. Отсюда получаем два корня: х=3 и х=4.

Теперь построим знаки функции f(х)=х^2-7х+12 на числовой прямой, используя найденные корни. Видно, что функция меняет знак с положительного на отрицательный при х

Решим неравенство ( x^2 - 7x + 12 \geq 0 ).

1. Найдём корни квадратного уравнения ( x^2 - 7x + 12 = 0 ): Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -7 ), ( c = 12 ).

   Сначала находим дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 ]

   Теперь найдём корни: [ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2} ] [ x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 ]

2. Определим интервалы, на которых выражение ( x^2 - 7x + 12 ) меняет знак: Корни разделяют числовую ось на три интервала: ( (-\infty, 3) ), ( (3, 4) ), ( (4, +\infty) ).

3. Исследуем знак выражения на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала ( (-\infty, 3) ) выберем точку ( x = 0 ): [ 0^2 - 7 \cdot 0 + 12 = 12 > 0 ]
   • Для интервала ( (3, 4) ) выберем точку ( x = 3.5 ): [ (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 < 0 ]
   • Для интервала ( (4, +\infty) ) выберем точку ( x = 5 ): [ 5^2 - 7 \cdot 5 + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 > 0 ]

4. Учитываем точки, где выражение обращается в ноль: В точках ( x = 3 ) и ( x = 4 ): [ 3^2 - 7 \cdot 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0 ] [ 4^2 - 7 \cdot 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 ]

5. Определим окончательное решение: Выражение ( x^2 - 7x + 12 \geq 0 ) выполняется на интервалах, где оно положительно или равно нулю: [ x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty) ]

Ответ: Решение неравенства ( x^2 - 7x + 12 \geq 0 ) — это ( x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty) ).