Решите неравенство (х+9)(х+1)(х-4)>0

Для решения неравенства ((x+9)(x+1)(x-4) > 0), нужно определить, когда произведение трех выражений будет положительным. Для этого рассмотрим корни выражений, которые делят числовую ось на интервалы, и проверим знак произведения на каждом из интервалов.

1. Найдем корни уравнения: ((x+9)(x+1)(x-4) = 0). Решаем: [x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9] [x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1] [x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4]

   Корни: (x = -9), (x = -1), (x = 4).

2. Разделим числовую ось на интервалы: Числовая ось делится на интервалы ((-∞, -9)), ((-9, -1)), ((-1, 4)), ((4, ∞)).

3. Определим знак выражения ((x+9)(x+1)(x-4)) на каждом из интервалов:

   • Интервал ((-∞, -9)): Возьмем тестовую точку, например (x = -10): ((x+9)=(-10+9)=-1), ((x+1)=(-10+1)=-9), ((x-4)=(-10-4)=-14). Произведение: ((-1) \cdot (-9) \cdot (-14) = -126) (отрицательное).

   • Интервал ((-9, -1)): Возьмем тестовую точку, например (x = -5): ((x+9)=(-5+9)=4), ((x+1)=(-5+1)=-4), ((x-4)=(-5-4)=-9). Произведение: (4 \cdot (-4) \cdot (-9) = 144) (положительное).

   • Интервал ((-1, 4)): Возьмем тестовую точку, например (x = 0): ((x+9)=(0+9)=9), ((x+1)=(0+1)=1), ((x-4)=(0-4)=-4). Произведение: (9 \cdot 1 \cdot (-4) = -36) (отрицательное).

   • Интервал ((4, ∞)): Возьмем тестовую точку, например (x = 5): ((x+9)=(5+9)=14), ((x+1)=(5+1)=6), ((x-4)=(5-4)=1). Произведение: (14 \cdot 6 \cdot 1 = 84) (положительное).

4. Определим, когда произведение положительно: ((x+9)(x+1)(x-4) > 0) на интервалах, где произведение положительно: ((-9, -1)) и ((4, ∞)).

5. Итог: Решением неравенства ((x+9)(x+1)(x-4) > 0) являются промежутки: [x \in (-9, -1) \cup (4, ∞).]

Ответ: (x \in (-9, -1) \cup (4, ∞)).

Для решения неравенства (x+9)(x+1)(x-4) > 0, нужно использовать метод интервалов. Сначала находим все точки, в которых функция равна нулю. Эти точки называются точками разрыва.

1. x+9=0 => x=-9
2. x+1=0 => x=-1
3. x-4=0 => x=4

Теперь мы имеем три точки разрыва: x=-9, x=-1 и x=4. Разобьем весь числовой промежуток на четыре интервала, используя эти точки разрыва: (-бесконечность, -9), (-9, -1), (-1, 4), (4, +бесконечность).

Теперь выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак функции на каждом интервале:

1. При x=-10: (-1)(-9)(-14) = 126, положительное
2. При x=-5: (-4)(-4)(-9) = -144, отрицательное
3. При x=0: (9)(1)(-4) = -36, отрицательное
4. При x=5: (14)(6)(1) = 84, положительное

Таким образом, неравенство (x+9)(x+1)(x-4) > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -9) и (4, +бесконечность).