Решите неравенство,используя метод интервалов.x-1/2x+6>0

Для решения неравенства ( \frac{x - 1}{2x + 6} > 0 ) с использованием метода интервалов, следуем следующим шагам:

1. Определим нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: ( x - 1 = 0 ) ⇒ ( x = 1 )
   • Знаменатель: ( 2x + 6 = 0 ) ⇒ ( 2x = -6 ) ⇒ ( x = -3 )

   Таким образом, у нас есть ключевые точки: ( x = -3 ) и ( x = 1 ).

2. Разделим числовую прямую на интервалы: На числовой прямой есть три интервала, которые нужно проверить:

   • ( (-\infty, -3) )
   • ( (-3, 1) )
   • ( (1, +\infty) )

3. Выберем тестовые точки для каждого интервала:

   • Для интервала ( (-\infty, -3) ) можно взять, например, ( x = -4 ).
   • Для интервала ( (-3, 1) ) можно взять, например, ( x = 0 ).
   • Для интервала ( (1, +\infty) ) можно взять, например, ( x = 2 ).

4. Проверим знак выражения ( \frac{x - 1}{2x + 6} ) в каждом интервале:

   • Интервал ( (-\infty, -3) ): Подставим ( x = -4 ): [ \frac{-4 - 1}{2(-4) + 6} = \frac{-5}{-8 + 6} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} > 0 ] Значит, в этом интервале выражение положительно.

   • Интервал ( (-3, 1) ): Подставим ( x = 0 ): [ \frac{0 - 1}{2(0) + 6} = \frac{-1}{6} < 0 ] Значит, в этом интервале выражение отрицательно.

   • Интервал ( (1, +\infty) ): Подставим ( x = 2 ): [ \frac{2 - 1}{2(2) + 6} = \frac{1}{4 + 6} = \frac{1}{10} > 0 ] Значит, в этом интервале выражение положительно.

5. Подводим итоги: Мы нашли, что:

   • В интервале ( (-\infty, -3) ) значение выражения положительно.
   • В интервале ( (-3, 1) ) значение выражения отрицательно.
   • В интервале ( (1, +\infty) ) значение выражения положительно.

6. Определим, где выражение больше нуля: Мы ищем, где ( \frac{x - 1}{2x + 6} > 0 ), что выполняется на интервалах:

   • ( (-\infty, -3) )
   • ( (1, +\infty) )

7. Не забываем про точки:

   • Точка ( x = -3 ) исключается, так как знаменатель равен нулю.
   • Точка ( x = 1 ) исключается, так как в ней числитель равен нулю.

Таким образом, окончательный ответ: [ (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) ]

Решим неравенство (\frac{x - 1}{2x + 6} > 0) с использованием метода интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя

Неравенство имеет вид дроби, поэтому начнем с анализа числителя и знаменателя.

1. Числитель: (x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1).
   Это точка, в которой числитель становится равным нулю.

2. Знаменатель: (2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3).
   Это точка, в которой знаменатель равен нулю, а дробь становится неопределённой.

2. Определим области

Нули числителя ((x = 1)) и знаменателя ((x = -3)) делят числовую прямую на три интервала: [ (-\infty, -3), \quad (-3, 1), \quad (1, +\infty). ]

Обратите внимание, что точка (x = -3) исключается из области определения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

3. Определим знак дроби на каждом интервале

Для этого возьмём тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство (\frac{x - 1}{2x + 6}).

• Интервал ((- \infty, -3)):
  Возьмём тестовую точку (x = -4).
  Подставим в дробь: [ \frac{-4 - 1}{2(-4) + 6} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8} > 0. ] Знак на этом интервале положительный.

• Интервал ((-3, 1)):
  Возьмём тестовую точку (x = 0).
  Подставим в дробь: [ \frac{0 - 1}{2(0) + 6} = \frac{-1}{6} < 0. ] Знак на этом интервале отрицательный.

• Интервал ((1, +\infty)):
  Возьмём тестовую точку (x = 2).
  Подставим в дробь: [ \frac{2 - 1}{2(2) + 6} = \frac{1}{10} > 0. ] Знак на этом интервале положительный.

4. Учтём знак неравенства

Неравенство (\frac{x - 1}{2x + 6} > 0) требует, чтобы дробь была строго больше нуля. Это выполняется на интервалах, где знак дроби положительный.

• Из предыдущего пункта видно, что (\frac{x - 1}{2x + 6} > 0) на интервалах: [ (-\infty, -3) \quad \text{и} \quad (1, +\infty). ]

5. Запишем окончательный ответ

Учтём, что точка (x = -3) не входит в область определения (знаменатель равен нулю), а точка (x = 1) не включается, так как неравенство строгое ((>), а не (\geq)).

Ответ: [ x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty). ]