Решите по теореме виета: х^2-10х+21=0

Для уравнения $x^2-10x+21=0$ по теореме Виета сумма корней $S=10$ $коэффициентпри(x$ с противоположным знаком), произведение корней $P=21$ $свободныйчлен$.

Корни можно найти, решив систему:

1. $x_1+x_2=10$
2. $x_1\cdot x_2=21$

Корни: $x_1=3$ и $x_2=7$.

Ответ: $x_1=3$, $x_2=7$.

Для решения уравнения $x^2-10x+21=0$ с использованием теоремы Виета, сначала напомним, что в общем виде квадратное уравнение имеет форму $a{x}^2+bx+c=0$. В нашем случае:

• $a=1$
• $b=-10$
• $c=21$

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ сумма корней $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ и произведение корней $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.

Подставим наши значения:

1. Сумма корней: $x_1+x_2=-\frac{-10}{1}=10$

2. Произведение корней: $x_1\cdot x_2=\frac{21}{1}=21$

Теперь мы знаем, что сумма двух чисел равна 10, а произведение равно 21. Нам нужно найти такие два числа, которые удовлетворяют этим условиям.

Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Составим систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=10x_1\cdot x_2=21\end{array}$

Теперь выразим $x_2$ через $x_1$:

$x_2=10-x_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x_1(10-x_1)=21$

Раскроем скобки:

$10x_1-x_1^2=21$

Переносим всё в одну сторону:

$-x_1^2+10x_1-21=0$

Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:

$x_1^2-10x_1+21=0$

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Подставим значения $a=1$, $b=-10$, $c=21$:

$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 21}}{2\cdot 1}$

Вычислим дискриминант:

$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16$

Теперь подставим дискриминант в формулу:

$x=\frac{10\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{10\pm 4}{2}$

Решим это уравнение:

1. Первый корень: $x_1=\frac{10+4}{2}=\frac{14}{2}=7$

2. Второй корень: $x_2=\frac{10-4}{2}=\frac{6}{2}=3$

Таким образом, корни уравнения $x^2-10x+21=0$ равны $x_1=7$ и $x_2=3$.

Подытожим: мы использовали теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней, а затем нашли сами корни, решив квадратное уравнение. Корни уравнения: $x_1=7$ и $x_2=3$.

Рассмотрим уравнение:
$x^2-10x+21=0.$

Мы решим его с использованием теоремы Виета. Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида:
$a{x}^2+bx+c=0,$
если $a\ne 0$, то сумма корней $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, а произведение корней $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.

Для данного уравнения:

• $a=1$,
• $b=-10$,
• $c=21$.

Теперь применим теорему Виета:

1. Сумма корней:
   $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-10}{1}=10.$

2. Произведение корней:
   $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{21}{1}=21.$

Теперь нужно найти два числа, которые удовлетворяют этим условиям:

• Их сумма равна $10$,
• Их произведение равно $21$.

Подыскиваем такие числа. Это $7$ и $3$, потому что:

• $7+3=10$,
• $7\cdot 3=21$.

Таким образом, корнями уравнения являются:
$x_1=7,x_2=3.$

Проверка:

Подставим $x_1=7$ и $x_2=3$ в исходное уравнение:

1. Для $x_1=7$:
   $7^2-10\cdot 7+21=49-70+21=0.$
   Уравнение выполнено.

2. Для $x_2=3$:
   $3^2-10\cdot 3+21=9-30+21=0.$
   Уравнение тоже выполнено.

Ответ:

Корни уравнения:
$x_1=7,x_2=3.$