Решите пожалуйста log_3 (x^2) - log_3 (x/x+6) =3

log_3 (x^2) - log_3 (x/(x+6)) = 3 log_3 (x^2 / (x/(x+6))) = 3 log_3 (x(x+6)) = 3 x(x+6) = 3^3 x^2 + 6x - 27 = 0 (x + 9)(x - 3) = 0 x = -9 or x = 3

Ответ: x = -9, x = 3.

Для решения данного уравнения применим свойство логарифмов, согласно которому разность логарифмов равна логарифму отношения аргументов:

log_3 (x^2) - log_3 (x/(x+6)) = log_3 (x^2 / (x/(x+6)))

Далее упростим выражение в правой части:

log_3 (x^2) - log_3 (x/(x+6)) = log_3 (x(x+6))

Теперь заменим левую часть уравнения на правую:

log_3 (x(x+6)) = 3

Преобразуем логарифм в экспоненциальную форму:

3^3 = x(x+6)

27 = x^2 + 6x

x^2 + 6x - 27 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = 6^2 - 41(-27) = 36 + 108 = 144

x1,2 = (-6 +/- √144) / 2*1

x1,2 = (-6 +/- 12) / 2

x1 = (12 - 6) / 2 = 6 / 2 = 3

x2 = (-6 - 12) / 2 = -18 / 2 = -9

Таким образом, уравнение log_3 (x^2) - log_3 (x/(x+6)) = 3 имеет два корня: x = 3 и x = -9.

Конечно, давайте разберем этот логарифмическое уравнение шаг за шагом. Уравнение имеет вид:

[ \log_3 (x^2) - \log_3 \left(\frac{x}{x+6}\right) = 3 ]

Первым шагом воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет вычитать логарифмы с одинаковым основанием:

[ \log_3 \left(\frac{x^2}{\frac{x}{x+6}}\right) = 3 ]

Приведем выражение под логарифмом к более простому виду:

[ \log_3 \left(\frac{x^2 \cdot (x+6)}{x}\right) = 3 ]

Теперь упростим дробь:

[ \log_3 (x \cdot (x+6)) = 3 ]

Что равно:

[ \log_3 (x^2 + 6x) = 3 ]

Теперь применим определение логарифма. Если (\log_3 (a) = b), то это эквивалентно (3^b = a). Применяя это свойство, получаем:

[ x^2 + 6x = 3^3 ]

Так как (3^3 = 27), уравнение примет вид:

[ x^2 + 6x = 27 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Перенесем все члены на одну сторону:

[ x^2 + 6x - 27 = 0 ]

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае коэффициенты (a = 1), (b = 6), (c = -27). Подставим их в формулу:

[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1} ]

Вычислим дискриминант:

[ D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144 ]

Теперь найдем корни:

[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} ] [ x = \frac{-6 \pm 12}{2} ]

Получаем два возможных значения для (x):

[ x_1 = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9 ]

Мы нашли два корня: (x = 3) и (x = -9). Однако, нам нужно проверить, чтобы решения удовлетворяли исходному логарифмическому уравнению, так как логарифм определен только для положительных аргументов.

Проверим (x = 3):

[ \log_3 (3^2) - \log_3 \left(\frac{3}{3+6}\right) = 3 ] [ \log_3 (9) - \log_3 \left(\frac{3}{9}\right) = 3 ] [ \log_3 (9) - \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = 3 ] [ \log_3 (9) + \log_3 (3) = 3 ] [ 2 + 1 = 3 ] [ 3 = 3 ]

Все верно, (x = 3) удовлетворяет уравнению.

Проверим (x = -9):

[ \log_3 ((-9)^2) - \log_3 \left(\frac{-9}{-9+6}\right) ]

Заметим, что (\log_3 \left(\frac{-9}{-3}\right)) не определен, так как аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Таким образом, единственным решением уравнения является: [ x = 3 ]