Решите пожалуйста уравнение:корень x+2+корень x-3=корень 3x+4

Чтобы решить уравнение (\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4}), следуем следующим шагам:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Учитывая, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными, определим область допустимых значений:

   [ x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2 ]

   [ x - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3 ]

   [ 3x + 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{4}{3} ]

   Таким образом, объединяя все условия, получаем (x \geq 3).

2. Решение уравнения: Исходное уравнение:

   [ \sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4} ]

   Чтобы убрать корни, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   [ (\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{3x+4})^2 ]

   [ x + 2 + 2\sqrt{(x+2)(x-3)} + x - 3 = 3x + 4 ]

   [ 2x - 1 + 2\sqrt{(x+2)(x-3)} = 3x + 4 ]

   Переносим все, что можем, на одну сторону:

   [ 2\sqrt{(x+2)(x-3)} = 3x + 4 - 2x + 1 ]

   [ 2\sqrt{(x+2)(x-3)} = x + 5 ]

   Делим обе стороны на 2:

   [ \sqrt{(x+2)(x-3)} = \frac{x + 5}{2} ]

3. Очередное возведение в квадрат:

   [ (x+2)(x-3) = \left(\frac{x + 5}{2}\right)^2 ]

   [ x^2 - 3x + 2x - 6 = \frac{(x + 5)^2}{4} ]

   [ x^2 - x - 6 = \frac{x^2 + 10x + 25}{4} ]

   Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дробей:

   [ 4x^2 - 4x - 24 = x^2 + 10x + 25 ]

   Переносим все влево:

   [ 4x^2 - 4x - 24 - x^2 - 10x - 25 = 0 ]

   [ 3x^2 - 14x - 49 = 0 ]

4. Решение квадратного уравнения:

   Решим квадратное уравнение (3x^2 - 14x - 49 = 0) с помощью дискриминанта:

   [ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-49) ]

   [ D = 196 + 588 = 784 ]

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 28}{6} ]

   [ x_1 = \frac{42}{6} = 7, \quad x_2 = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} ]

5. Проверка решений на ОДЗ:

   (x_1 = 7) принадлежит области допустимых значений (x \geq 3).

   (x_2 = -\frac{7}{3}) не принадлежит области допустимых значений (так как меньше 3).

   Поэтому единственным решением уравнения является (x = 7).

Ответ: (x = 7).

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(x + 2) + √(x - 3))^2 = (√(3x + 4))^2 x + 2 + 2√((x + 2)(x - 3)) + x - 3 = 3x + 4 2x - 1 + 2√(x^2 - x - 6) = 3x + 4

Теперь перенесем все слагаемые с корнем в одну часть уравнения, а остальные в другую:

2√(x^2 - x - 6) = 3x + 4 - 2x + 1 2√(x^2 - x - 6) = x + 5

Возводим обе части в квадрат:

4(x^2 - x - 6) = (x + 5)^2 4x^2 - 4x - 24 = x^2 + 10x + 25 3x^2 - 14x - 49 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-14)^2 - 43(-49) = 196 + 588 = 784 x1,2 = (14 ± √784) / 6 x1,2 = (14 ± 28) / 6 x1 = 8, x2 = -7

Проверим подстановкой:

При x = 8: √10 + √5 = √28, верно При x = -7: √(-5) + √(-10) ≠ √(-17), неверно

Таким образом, единственным корнем уравнения x^2 - 14x - 49 = 0 является x = 8.