Решите систему неравенств:3х^2 - 4x = y3x - 4 = y

Для решения данной системы неравенств сначала найдем общие значения ( y ) для обоих уравнений. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Из первого уравнения ( 3x^2 - 4x = y ) прямо выразить ( x ) через ( y ) не получится, так как это квадратное уравнение относительно ( x ).

2. Из второго уравнения ( 3x - 4 = y ) выразим ( x ) через ( y ): [ x = \frac{y + 4}{3} ]

Теперь подставим выражение для ( x ), полученное из второго уравнения, в первое уравнение: [ 3\left(\frac{y + 4}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{y + 4}{3}\right) = y ] [ \left(\frac{y + 4}{3}\right)^2 - \frac{4(y + 4)}{3} = y ] [ \frac{(y + 4)^2}{9} - \frac{4(y + 4)}{3} = y ] [ \frac{(y + 4)^2 - 12(y + 4)}{9} = y ] [ \frac{y^2 + 8y + 16 - 12y - 48}{9} = y ] [ \frac{y^2 - 4y - 32}{9} = y ] [ y^2 - 4y - 32 = 9y ] [ y^2 - 13y - 32 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение: [ y^2 - 13y - 32 = 0 ] Дискриминант: [ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 169 + 128 = 297 ] [ \sqrt{D} = \sqrt{297} ] [ y_1 = \frac{13 + \sqrt{297}}{2}, \quad y_2 = \frac{13 - \sqrt{297}}{2} ]

Так как ( \sqrt{297} ) приблизительно равно 17.23, то: [ y_1 \approx \frac{13 + 17.23}{2} \approx 15.115 ] [ y_2 \approx \frac{13 - 17.23}{2} \approx -2.115 ]

Осталось проверить, подходят ли найденные значения ( y ) обоим уравнениям системы. Для этого подставим найденные значения ( y ) в выражение для ( x ) из второго уравнения и проверим, удовлетворяют ли они первому уравнению: [ x = \frac{y + 4}{3} ] [ x = \frac{15.115 + 4}{3} \approx 6.372 ] [ x = \frac{-2.115 + 4}{3} \approx 0.628 ]

Подставив найденные значения ( x ) в первое уравнение, можно убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Таким образом, получаем два решения системы: [ (x, y) \approx (6.372, 15.115), \quad (x, y) \approx (0.628, -2.115) ]

Для решения данной системы неравенств необходимо найти область пересечения решений обоих уравнений.

Сначала найдем значения y в обоих уравнениях:

1) y = 3x^2 - 4x 2) y = 3x - 4

Теперь приравняем оба уравнения друг к другу: 3x^2 - 4x = 3x - 4

3x^2 - 4x - 3x + 4 = 0 3x^2 - 7x + 4 = 0

Теперь найдем корни уравнения: x = (7 ± √(7^2 - 434))/(2*3) x = (7 ± √(49 - 48))/6 x = (7 ± √1)/6 x = (7 ± 1)/6

x1 = 8/6 = 4/3 x2 = 6/6 = 1

Теперь найдем соответствующие значения y: y1 = 34/3 - 4 = 4 - 4 = 0 y2 = 31 - 4 = 3 - 4 = -1

Итак, решение системы неравенств: x ∈ [1, 4/3], y ∈ [-1, 0]