Решите систему уравнений:
3x^2 + 2y^2 = 50 12x^2 + 8y^2 = 50x
Решите систему уравнений:
3x^2 + 2y^2 = 50 12x^2 + 8y^2 = 50x
Для начала преобразуем второе уравнение:
12x^2 + 8y^2 = 50x 12x^2 - 50x + 8y^2 = 0 4(3x^2 - 12.5x + 2y^2) = 0 4(3x^2 - 12.5x + 25/2 - 25/2 + 2y^2) = 0 4((√2y)^2 - 2√2y + 25/2) + 50 = 0 4(√2y - 5/√2)^2 + 50 = 0
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
3x^2 + 2y^2 = 50 3x^2 + (5/√2)^2 = 50 3x^2 + 25/2 = 50 3x^2 = 50 - 25/2 3x^2 = 75/2 x^2 = 25/2 x = ±5/√2
Теперь найдем значения y:
Из уравнения 4(√2y - 5/√2)^2 + 50 = 0 (√2y - 5/√2)^2 = -50/4 √2y - 5/√2 = ±5i √2y = 5/√2 ± 5i y = 5/2 ± 5√2i
Таким образом, система имеет два комплексных решения:
Для решения данной системы уравнений начнем с того, что упростим второе уравнение, разделив его на 2:
[ 6x^2 + 4y^2 = 25x ]
Теперь у нас есть система:
Во втором уравнении можно также разделить обе части на 2:
[ 3x^2 + 2y^2 = 12.5x ]
Теперь вычитаем первое уравнение из модифицированного второго уравнения:
[ (3x^2 + 2y^2) - (3x^2 + 2y^2) = 12.5x - 50 ] [ 0 = 12.5x - 50 ]
Отсюда находим ( x ):
[ 12.5x = 50 ] [ x = \frac{50}{12.5} = 4 ]
Подставим ( x = 4 ) в первое уравнение:
[ 3 \cdot 4^2 + 2y^2 = 50 ] [ 3 \cdot 16 + 2y^2 = 50 ] [ 48 + 2y^2 = 50 ] [ 2y^2 = 2 ] [ y^2 = 1 ]
Откуда ( y = \pm 1 ).
Итак, решениями данной системы уравнений являются пары значений ( (x, y) ):
[ (4, 1) ] и [ (4, -1) ].
Эти решения можно проверить, подставив обратно в исходные уравнения.
Данная система уравнений не имеет решений.
