Решите систему уравнений 4х^2+3ху-у^2=0 х^2+у^2-2за=16

Для решения данной системы уравнений необходимо использовать метод подстановки или метод исключения переменных.

1. Подставим второе уравнение в первое: 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 (x^2 + y^2 - 16) + 3xy - y^2 = 0 x^2 + y^2 - 16 + 3xy - y^2 = 0 x^2 - 16 + 3xy = 0 3xy = 16 - x^2 y = (16 - x^2) / 3x

2. Подставим найденное значение y во второе уравнение: x^2 + ((16 - x^2) / 3x)^2 - 2z^2 = 16 x^2 + (256 - 32x^2 + x^4) / 9x^2 - 2z^2 = 16 9x^2 + 256 - 32x^2 + x^4 - 18z^2x^2 = 144x^2 x^4 - 23x^2 + 256 - 18z^2x^2 = 144x^2 x^4 - 41x^2 + 256 - 18z^2x^2 = 0

3. Решим полученное уравнение для x и найдем значение y и z: x^4 - 41x^2 + 256 - 18z^2x^2 = 0

После решения этого уравнения можно будет найти значения переменных x, y и z, удовлетворяющие данной системе уравнений.

Решим систему уравнений:

1. ( 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 )
2. ( x^2 + y^2 - 2z = 16 )

Первый шаг: Решение первого уравнения

Уравнение ( 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 ) можно рассматривать как квадратное уравнение относительно одной из переменных. Попробуем выразить одно из переменных через другую.

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно ( x ):

[ 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 ]

Это квадратное уравнение имеет вид:

[ ax^2 + bx + c = 0 ]

Здесь ( a = 4 ), ( b = 3y ), и ( c = -y^2 ).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (3y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-y^2) ] [ D = 9y^2 + 16y^2 = 25y^2 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3y \pm 5y}{8} ]

Таким образом, получаем два возможных решения для ( x ):

1. ( x_1 = \frac{-3y + 5y}{8} = \frac{2y}{8} = \frac{y}{4} )
2. ( x_2 = \frac{-3y - 5y}{8} = \frac{-8y}{8} = -y )

Второй шаг: Подстановка решений в второе уравнение

Теперь подставим найденные выражения для ( x ) во второе уравнение ( x^2 + y^2 - 2z = 16 ):

Подстановка ( x = \frac{y}{4} )

[ \left(\frac{y}{4}\right)^2 + y^2 - 2z = 16 ] [ \frac{y^2}{16} + y^2 - 2z = 16 ] [ \frac{y^2 + 16y^2}{16} - 2z = 16 ] [ \frac{17y^2}{16} - 2z = 16 ]

Перепишем уравнение:

[ 17y^2 - 32z = 256 ]

Подстановка ( x = -y )

[ (-y)^2 + y^2 - 2z = 16 ] [ y^2 + y^2 - 2z = 16 ] [ 2y^2 - 2z = 16 ]

Перепишем уравнение:

[ 2y^2 - 2z = 16 ]

Решение системы

Мы получили две системы уравнений для каждого случая:

1. ( 17y^2 - 32z = 256 )
2. ( 2y^2 - 2z = 16 )

Для второго случая:

[ 2y^2 - 2z = 16 \Rightarrow y^2 - z = 8 \Rightarrow z = y^2 - 8 ]

Теперь решим систему:

1. ( 17y^2 - 32z = 256 )
2. ( z = y^2 - 8 )

Подставим ( z = y^2 - 8 ) в первое уравнение:

[ 17y^2 - 32(y^2 - 8) = 256 ] [ 17y^2 - 32y^2 + 256 = 256 ] [ -15y^2 + 256 = 256 ] [ -15y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 ]

Подставим ( y = 0 ) в ( z = y^2 - 8 ):

[ z = 0^2 - 8 = -8 ]

Теперь вернемся к значениям ( x ):

Для ( y = 0 ), ( x = \frac{y}{4} = 0 ) или ( x = -y = 0 ).

Таким образом, система имеет решение: [ (x, y, z) = (0, 0, -8) ]