Решите систему уравнений прошуууу { x²+xy-y²=11 { x-2y=1 подробное решение ,пожалуйста

Конечно! Давайте решим систему уравнений:

[ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11 \ x - 2y = 1 \end{cases} ]

Начнем с второго уравнения:

[ x - 2y = 1 ]

Из этого уравнения выразим ( x ) через ( y ):

[ x = 2y + 1 ]

Теперь подставим выражение для ( x ) во второе уравнение:

[ (2y + 1)^2 + (2y + 1)y - y^2 = 11 ]

Раскроем скобки и упростим:

1. ((2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1)
2. ((2y + 1)y = 2y^2 + y)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

[ 4y^2 + 4y + 1 + 2y^2 + y - y^2 = 11 ]

Объединим подобные члены:

[ 5y^2 + 5y + 1 = 11 ]

Вычтем 11 из обеих сторон уравнения:

[ 5y^2 + 5y + 1 - 11 = 0 ]

Упростим:

[ 5y^2 + 5y - 10 = 0 ]

Разделим все уравнение на 5, чтобы упростить:

[ y^2 + y - 2 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} ]

1. ( y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 )
2. ( y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 )

Теперь найдем соответствующие значения ( x ) для каждого из значений ( y ).

1. Для ( y = 1 ): [ x = 2y + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3 ]

2. Для ( y = -2 ): [ x = 2y + 1 = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3 ]

Таким образом, мы получили два решения системы:

1. ( (x, y) = (3, 1) )
2. ( (x, y) = (-3, -2) )

Теперь проверим оба решения, подставив их в первое уравнение системы.

1. Для ( (x, y) = (3, 1) ): [ x^2 + xy - y^2 = 3^2 + 3 \cdot 1 - 1^2 = 9 + 3 - 1 = 11 ] Уравнение выполняется.

2. Для ( (x, y) = (-3, -2) ): [ x^2 + xy - y^2 = (-3)^2 + (-3)(-2) - (-2)^2 = 9 + 6 - 4 = 11 ] Уравнение выполняется.

Оба решения верны. Ответ: ( (3, 1) ) и ((-3, -2)).

Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения выразим x через y: x = 1 + 2y.

Подставим это выражение в первое уравнение:

(1 + 2y)² + (1 + 2y)y - y² = 11 1 + 4y + 4y² + y + 2y² - y² = 11 4y + 4y² + y + 2y² - y² = 10 4y + 4y² + y + y² = 10 5y + 5y² = 10 y + y² = 2

Теперь решим полученное уравнение второй степени:

y² + y - 2 = 0 (y + 2)(y - 1) = 0

Отсюда получаем два корня: y₁ = -2 и y₂ = 1.

Подставим значения y обратно в уравнение x = 1 + 2y:

Для y₁: x = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3 Для y₂: x = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3

Таким образом, получаем два решения системы уравнений: x₁ = -3, y₁ = -2 x₂ = 3, y₂ = 1

Проверим данные решения, подставив их обратно в исходную систему уравнений:

Для x₁ = -3, y₁ = -2: (-3)² + (-3)(-2) - (-2)² = 11 9 + 6 - 4 = 11 15 - 4 = 11 11 = 11 И x - 2y = 1 -3 - 2(-2) = 1 -3 + 4 = 1 1 = 1

Для x₂ = 3, y₂ = 1: 3² + 3(1) - (1)² = 11 9 + 3 - 1 = 11 11 = 11 И x - 2y = 1 3 - 2(1) = 1 3 - 2 = 1 1 = 1

Таким образом, оба полученных решения удовлетворяют исходную систему уравнений.