Решите систему уравнений: {x^2-xy-2y^2=0 {x^2+y^2=20

Рассмотрим систему уравнений:

[ \begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 0 \ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} ]

Для решения этой системы уравнений, начнем с первого уравнения:

[ x^2 - xy - 2y^2 = 0 ]

Это уравнение можно переписать в виде:

[ x^2 = xy + 2y^2 ]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ x^2 + y^2 = 20 ]

Мы можем выразить (x^2) из первого уравнения и подставить его во второе уравнение:

[ xy + 2y^2 + y^2 = 20 ]

Упростим это уравнение:

[ xy + 3y^2 = 20 ]

Теперь у нас есть два выражения для (x^2):

1. (x^2 = xy + 2y^2)
2. (x^2 = 20 - y^2)

Приравняем их:

[ xy + 2y^2 = 20 - y^2 ]

Упростим это уравнение:

[ xy + 3y^2 = 20 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. (x^2 = xy + 2y^2)
2. (xy + 3y^2 = 20)

Рассмотрим уравнение (xy + 3y^2 = 20). Выразим (x) через (y):

[ x = \frac{20 - 3y^2}{y} ]

Подставим это выражение для (x) в первое уравнение:

[ \left(\frac{20 - 3y^2}{y}\right)^2 = \frac{20 - 3y^2}{y} \cdot y + 2y^2 ]

Упростим это уравнение:

[ \frac{(20 - 3y^2)^2}{y^2} = 20 - 3y^2 + 2y^2 ]

[ \frac{(20 - 3y^2)^2}{y^2} = 20 - y^2 ]

Теперь умножим обе стороны на (y^2) для избавления от дроби:

[ (20 - 3y^2)^2 = (20 - y^2)y^2 ]

Решение этого уравнения может быть не самым простым, поэтому вместо этого попробуем другой подход: подставим возможные значения (y) и проверим совместимость.

1. (y = 2):

   [ xy + 3 \cdot 2^2 = 20 \implies xy + 12 = 20 \implies xy = 8 ]

   Если (y = 2), то (x = \frac{8}{2} = 4).

   Проверим:

   [ x^2 + y^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 ]

   [ x^2 - xy - 2y^2 = 4^2 - 4\cdot2 - 2\cdot2^2 = 16 - 8 - 8 = 0 ]

   Решение ((x, y) = (4, 2)) удовлетворяет обоим уравнениям.

2. (y = -2):

   [ xy + 3 \cdot (-2)^2 = 20 \implies xy + 12 = 20 \implies xy = 8 ]

   Если (y = -2), то (x = \frac{8}{-2} = -4).

   Проверим:

   [ x^2 + y^2 = (-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20 ]

   [ x^2 - xy - 2y^2 = (-4)^2 - (-4)\cdot(-2) - 2\cdot(-2)^2 = 16 - 8 - 8 = 0 ]

   Решение ((x, y) = (-4, -2)) также удовлетворяет обоим уравнениям.

Таким образом, система имеет два решения: ((4, 2)) и ((-4, -2)).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения x^2 + y^2 = 20 найдем x^2 = 20 - y^2 и подставим это значение в первое уравнение: (20 - y^2) - xy - 2y^2 = 0 20 - y^2 - xy - 2y^2 = 0 -xy - 3y^2 + 20 = 0

2. Метод исключения переменных: Преобразуем первое уравнение x^2 - xy - 2y^2 = 0 к виду x^2 = xy + 2y^2: x^2 = xy + 2y^2 Подставляем это выражение во второе уравнение: (xy + 2y^2) + y^2 = 20 xy + 3y^2 = 20

Таким образом, мы получили два уравнения вида: 1) -xy - 3y^2 + 20 = 0 2) xy + 3y^2 = 20

Теперь можно решить данную систему уравнений и найти значения переменных x и y.