Решите систему уравнений x+3y=0 x^2+y^2-2xy=9

Для решения данной системы уравнений, начнем с анализа каждого из них:

1. Первое уравнение системы: [ x + 3y = 0 ] Это линейное уравнение, которое можно переписать как: [ x = -3y ] Таким образом, мы выразили (x) через (y).

2. Второе уравнение системы: [ x^2 + y^2 - 2xy = 9 ] Это уравнение можно упростить, заметив, что оно похоже на формулу квадрата разности: [ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ] Таким образом, уравнение принимает вид: [ (x-y)^2 = 9 ] Отсюда следует, что: [ x - y = 3 \quad \text{или} \quad x - y = -3 ]

Теперь подставим выражение для (x) из первого уравнения (x = -3y) во второе уравнение:

1. Рассмотрим случай (x - y = 3): [ -3y - y = 3 \quad \Rightarrow \quad -4y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4} ] Подставим значение (y) в выражение для (x): [ x = -3\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{4} ]

2. Рассмотрим случай (x - y = -3): [ -3y - y = -3 \quad \Rightarrow \quad -4y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4} ] Подставим значение (y) в выражение для (x): [ x = -3\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{9}{4} ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ((x, y) = \left(\frac{9}{4}, -\frac{3}{4}\right))
2. ((x, y) = \left(-\frac{9}{4}, \frac{3}{4}\right))

Проверка:

Для ((x, y) = \left(\frac{9}{4}, -\frac{3}{4}\right)):

• Подставим в первое уравнение: (\frac{9}{4} + 3\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0), верно.
• Подставим во второе уравнение: (\left(\frac{9}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{9}{4}\right)\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{81}{16} + \frac{9}{16} + \frac{27}{8} = 9), верно.

Для ((x, y) = \left(-\frac{9}{4}, \frac{3}{4}\right)):

• Подставим в первое уравнение: (-\frac{9}{4} + 3\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 0), верно.
• Подставим во второе уравнение: (\left(-\frac{9}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{9}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{81}{16} + \frac{9}{16} + \frac{27}{8} = 9), верно.

Оба решения корректны.

x=0, y=0

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из первого уравнения выразим x через y: x = -3y

Подставим это выражение во второе уравнение: (-3y)^2 + y^2 - 2(-3y)y = 9 9y^2 + y^2 + 6y^2 = 9 16y^2 = 9 y^2 = 9/16 y = ±3/4

Теперь найдем значение x, подставив полученное значение y обратно в первое уравнение: x = -3*(±3/4) x = -9/4 или x = 9/4

Итак, система уравнений имеет два решения: x = -9/4, y = 3/4 или x = 9/4, y = -3/4.