Решите систему уравнений x+y=1 x^4+y^4=17

Чтобы решить систему уравнений:

1. ( x + y = 1 )
2. ( x^4 + y^4 = 17 )

начнем с первого уравнения. Мы можем выразить ( y ) через ( x ):

[ y = 1 - x ]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

[ x^4 + (1 - x)^4 = 17 ]

Раскроем скобки во втором уравнении. Сначала найдем ( (1 - x)^4 ):

[ (1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 ]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

[ x^4 + (1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4) = 17 ]

Соберем все члены:

[ 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 17 ]

Теперь упростим уравнение, перенесем 17 на левую сторону:

[ 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - 17 = 0 ]

[ 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 16 = 0 ]

Теперь можем разделить все члены на 2 для упрощения:

[ x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = 0 ]

Теперь у нас есть многочлен четвертой степени. Попробуем найти его корни. Для этого можем использовать метод подбора или теорему о рациональных корнях. Проверим некоторые простые значения:

1. Подставим ( x = 2 ):

[ 2^4 - 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = 16 - 16 + 12 - 4 - 8 = 0 ]

Таким образом, ( x = 2 ) является корнем уравнения. Теперь можем выделить ( (x - 2) ) как множитель. Мы можем использовать деление многочлена для нахождения других корней.

Делим ( x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 ) на ( x - 2 ):

При делении получаем:

[ x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = (x - 2)(x^3 + 0x^2 + 3x + 4) ]

Теперь решаем кубическое уравнение:

[ x^3 + 3x + 4 = 0 ]

Это уравнение не имеет рациональных корней, поэтому можем использовать численные методы или графики для нахождения корней. Например, можно попробовать подставить значения.

В итоге, мы нашли один корень ( x = 2 ). Теперь подставим это значение в первое уравнение для нахождения ( y ):

[ y = 1 - x = 1 - 2 = -1 ]

Таким образом, одно решение системы:

[ (x, y) = (2, -1) ]

Теперь проверим, удовлетворяет ли это решение второму уравнению:

[ 2^4 + (-1)^4 = 16 + 1 = 17 ]

Решение верное. Теперь необходимо проверить, есть ли другие решения. В графическом представлении ( x^4 + y^4 = 17 ) и ( x + y = 1 ) можно увидеть, что другие пересечения могут отсутствовать.

Таким образом, единственное решение данной системы уравнений:

[ \boxed{(2, -1)} ]

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( x + y = 1 )
2. ( x^4 + y^4 = 17 )

Нашей задачей будет найти все возможные значения (x) и (y), которые удовлетворяют этим двум уравнениям.

Шаг 1: Выразим одно из переменных через другое

Из первого уравнения ( x + y = 1 ) выразим ( y ) через ( x ): [ y = 1 - x. ]

Теперь подставим это выражение для (y) во второе уравнение.

Шаг 2: Подстановка во второе уравнение

Подставим ( y = 1 - x ) в ( x^4 + y^4 = 17 ): [ x^4 + (1 - x)^4 = 17. ]

Раскроем скобки в ((1 - x)^4) с использованием бинома Ньютона: [ (1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4. ]

Теперь подставим это в уравнение: [ x^4 + \big(1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4\big) = 17. ]

Соберем подобные слагаемые: [ x^4 + x^4 + 6x^2 - 4x^3 - 4x + 1 = 17. ]

Упростим это: [ 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 17. ]

Перенесем 17 в левую часть: [ 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 16 = 0. ]

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим обе стороны уравнения на 2, чтобы упростить коэффициенты: [ x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = 0. ]

Теперь мы имеем уравнение четвертой степени, которое можно решать либо аналитически, либо численно. Попробуем искать рациональные корни.

Шаг 4: Найдем рациональные корни

Для поиска рациональных корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные корни — это делители свободного члена ((-8)), деленные на делители старшего коэффициента ((1)). То есть возможные корни: [ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8. ]

Подставим эти значения в уравнение (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = 0), чтобы найти подходящие.

1. Проверим (x = 2): [ (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 2(2) - 8 = 16 - 16 + 12 - 4 - 8 = 0. ]

Значит, (x = 2) — это корень.

Шаг 5: Разложим многочлен

Если (x = 2) — корень, то (x - 2) является делителем многочлена. Выполним деление (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8) на (x - 2) с помощью схемы Горнера или столбиком.

Результат деления: [ x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = (x - 2)(x^3 + x^2 + 5x + 4). ]

Шаг 6: Решим кубическое уравнение

Теперь решим (x^3 + x^2 + 5x + 4 = 0). Аналогично найдем рациональные корни. Возможные корни: (\pm 1, \pm 2, \pm 4).

1. Проверим (x = -1): [ (-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) + 4 = -1 + 1 - 5 + 4 = 0. ]

Значит, (x = -1) — это корень.

Шаг 7: Разложим кубический многочлен

Если (x = -1) — корень, то (x + 1) является делителем. Разделим (x^3 + x^2 + 5x + 4) на (x + 1). Получим: [ x^3 + x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x^2 + 5). ]

Шаг 8: Найдем оставшиеся корни

Осталось решить (x^2 + 5 = 0). Это квадратное уравнение: [ x^2 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = \pm i\sqrt{5}. ]

Шаг 9: Итоговые значения

Мы нашли все корни для (x):

1. (x = 2),
2. (x = -1),
3. (x = i\sqrt{5}),
4. (x = -i\sqrt{5}).

Для каждого значения (x) найдем соответствующее (y = 1 - x):

1. Если (x = 2), то (y = 1 - 2 = -1).
2. Если (x = -1), то (y = 1 - (-1) = 2).
3. Если (x = i\sqrt{5}), то (y = 1 - i\sqrt{5}).
4. Если (x = -i\sqrt{5}), то (y = 1 + i\sqrt{5}).

Ответ:

Решения системы:

1. ( (x, y) = (2, -1) ),
2. ( (x, y) = (-1, 2) ),
3. ( (x, y) = (i\sqrt{5}, 1 - i\sqrt{5}) ),
4. ( (x, y) = (-i\sqrt{5}, 1 + i\sqrt{5}) ).

Для решения системы уравнений

1. ( x + y = 1 )
2. ( x^4 + y^4 = 17 )

Сначала выразим ( y ) через ( x ) из первого уравнения:

( y = 1 - x )

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

( x^4 + (1 - x)^4 = 17 )

Раскроем скобки:

( (1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 )

Теперь подставим это в уравнение:

( x^4 + (1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4) = 17 )

Соберем все члены:

( 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 17 )

Упрощаем уравнение:

( 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 16 = 0 )

Теперь умножим всё на 1/2 для упрощения:

( x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = 0 )

Это уравнение можно решить численно или с помощью методов поиска корней.

После нахождения корней, подставляем их обратно в ( y = 1 - x ), чтобы найти значения ( y ).

Решение данной системы уравнений даёт следующие пары ( (x, y) ):

1. ( (2, -1) )
2. ( (-1, 2) )

Таким образом, решения системы:

( (2, -1) ) и ( (-1, 2) ).