Решите систему уравнений x²+y²=5 xy=2

Давайте решим систему уравнений:

1. ( x^2 + y^2 = 5 )
2. ( xy = 2 )

Для начала, заметим, что оба уравнения включают (x) и (y) в квадратах или произведении, что обычно наводит на мысль о методах работы с симметрическими функциями.

Рассмотрим уравнение ( x^2 + y^2 = 5 ). Мы можем использовать уравнение ( xy = 2 ) для упрощения. Выразим ( y ) через ( x ) из второго уравнения:

[ y = \frac{2}{x} ]

Теперь подставим ( y ) в первое уравнение:

[ x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5 ]

Распишем и упростим:

[ x^2 + \frac{4}{x^2} = 5 ]

Умножим всё уравнение на ( x^2 ), чтобы избавиться от знаменателя:

[ x^4 + 4 = 5x^2 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 ]

Введём новую переменную ( z = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:

[ z^2 - 5z + 4 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Найдём корни с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 ]

Корни уравнения будут:

[ z_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня:

[ z_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 ] [ z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 ]

Теперь вернёмся к переменной ( x ):

1. ( x^2 = 4 )
2. ( x^2 = 1 )

Для первого случая ( x^2 = 4 ):

[ x = \pm 2 ]

Тогда ( y = \frac{2}{x} ):

Если ( x = 2 ), то ( y = \frac{2}{2} = 1 ). Если ( x = -2 ), то ( y = \frac{2}{-2} = -1 ).

Для второго случая ( x^2 = 1 ):

[ x = \pm 1 ]

Тогда ( y = \frac{2}{x} ):

Если ( x = 1 ), то ( y = \frac{2}{1} = 2 ). Если ( x = -1 ), то ( y = \frac{2}{-1} = -2 ).

Итак, у нас есть четыре пары решений:

1. ( (x, y) = (2, 1) )
2. ( (x, y) = (-2, -1) )
3. ( (x, y) = (1, 2) )
4. ( (x, y) = (-1, -2) )

Ответ: система уравнений имеет четыре решения: ((2, 1)), ((-2, -1)), ((1, 2)) и ((-1, -2)).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом выражения одной переменной через другую.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения выразим одну переменную через другую: xy = 2 y = 2/x

Подставим это выражение в первое уравнение: x² + (2/x)² = 5 x² + 4/x² = 5 Умножим обе части уравнения на x²: x⁴ + 4 = 5x² x⁴ - 5x² + 4 = 0 Теперь это уравнение можно решить как квадратное относительно x²: (x² - 1)(x² - 4) = 0 x² = 1 или x² = 4 x = ±1 или x = ±2

Подставим найденные значения x обратно в уравнение y = 2/x: 1) x = 1: y = 2/1 = 2 2) x = -1: y = 2/(-1) = -2 3) x = 2: y = 2/2 = 1 4) x = -2: y = 2/(-2) = -1

Таким образом, получаем 4 решения системы уравнений: (1, 2), (-1, -2), (2, 1), (-2, -1)

x = 1, y = 2