Решите систему уравнений: {xy-y=24 {x-3y=-5

Для решения системы уравнений:

1. ( xy - y = 24 )
2. ( x - 3y = -5 )

мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае, удобнее использовать метод подстановки.

Начнем с второго уравнения:

[ x - 3y = -5 ]

Выразим ( x ) через ( y ):

[ x = 3y - 5 ]

Теперь подставим выражение для ( x ) в первое уравнение:

[ (3y - 5)y - y = 24 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ 3y^2 - 5y - y = 24 ]

[ 3y^2 - 6y = 24 ]

Теперь перенесем все на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

[ 3y^2 - 6y - 24 = 0 ]

Для упрощения, можно разделить все уравнение на 3:

[ y^2 - 2y - 8 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать дискриминант или метод разложения на множители. Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36 ]

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня. Найдем их:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} ]

1. ( y_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 )
2. ( y_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 )

Теперь найдем соответствующие значения ( x ) для каждого из найденных ( y ).

Для ( y = 4 ):

[ x = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7 ]

Для ( y = -2 ):

[ x = 3 \times (-2) - 5 = -6 - 5 = -11 ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (7, 4) )
2. ( (x, y) = (-11, -2) )

Проверим оба решения, подставив в исходные уравнения:

1. Для ( (x, y) = (7, 4) ):

   • Первое уравнение: ( 7 \times 4 - 4 = 28 - 4 = 24 ) (выполняется)
   • Второе уравнение: ( 7 - 3 \times 4 = 7 - 12 = -5 ) (выполняется)

2. Для ( (x, y) = (-11, -2) ):

   • Первое уравнение: ((-11) \times (-2) - (-2) = 22 + 2 = 24) (выполняется)
   • Второе уравнение: (-11 - 3 \times (-2) = -11 + 6 = -5) (выполняется)

Оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом Крамера.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения выразим x через y: x = 3y - 5 Подставляем это выражение в первое уравнение: (3y - 5)y - y = 24 3y^2 - 5y - y = 24 3y^2 - 6y - 24 = 0 y^2 - 2y - 8 = 0 (y - 4)(y + 2) = 0 Отсюда получаем два возможных значения для y: y = 4 или y = -2

Подставляем найденные значения y обратно в уравнение x = 3y - 5: 1) y = 4 -> x = 34 - 5 = 7 2) y = -2 -> x = 3(-2) - 5 = -11

Итак, получаем два решения системы уравнений: 1) x = 7, y = 4 2) x = -11, y = -2

1. Метод Крамера: Выразим x и y через определители: D = |1 -1| = 13 - (-1)1 = 3 + 1 = 4

   |1 -3|
   

   Dx = |24 -1| = 243 - (-1)(-5) = 72 - 5 = 67

      |-5 -3|
   

   Dy = |1 24| = 1(-5) - 13 = -5 - 3 = -8

     |1 -5|
   

Теперь находим x и y по формулам: x = Dx / D = 67 / 4 = 16.75 y = Dy / D = -8 / 4 = -2

Итак, получаем решение системы уравнений: x = 16.75, y = -2

Таким образом, система уравнений имеет два решения: 1) x = 7, y = 4 2) x = -11, y = -2

x = -2, y = -12.