Решите тригонометрическое уравнение: 6sin^2x+13sinxcosx+2cos^2x=0 Пожалуйста

Для решения данного тригонометрического уравнения мы можем воспользоваться формулами приведения. Заметим, что данное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно sin(x):

6sin^2x + 13sinxcosx + 2cos^2x = 0 6sin^2x + 13sinxcosx + 2(1 - sin^2x) = 0 6sin^2x + 13sinxcosx + 2 - 2sin^2x = 0 4sin^2x + 13sinxcosx + 2 = 0

Теперь можно рассмотреть это уравнение как квадратное уравнение относительно sin(x):

Пусть sin(x) = t, тогда уравнение примет вид: 4t^2 + 13t + 2 = 0

Далее решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 13^2 - 442 = 169 - 32 = 137

Так как дискриминант положительный, то у уравнения есть два корня: t1 = (-b + √D) / 2a = (-13 + √137) / 8 t2 = (-b - √D) / 2a = (-13 - √137) / 8

Далее, найдя значения sin(x) по найденным значениям t1 и t2, мы можем найти значения угла x.

Для решения тригонометрического уравнения (6\sin^2x + 13\sin x \cos x + 2\cos^2x = 0) можно использовать некоторые алгебраические преобразования и тригонометрические тождества.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Уравнение имеет вид, содержащий как (\sin x), так и (\cos x). Попробуем выразить одно через другое, используя основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2x + \cos^2x = 1 ]

Однако, в данном случае, мы можем попробовать решить уравнение, рассматривая его как квадратное относительно одной из тригонометрических функций. Перепишем уравнение, выразив синусы и косинусы в виде переменных:

Пусть (y = \sin x) и (z = \cos x). Тогда уравнение можно переписать как:

[ 6y^2 + 13yz + 2z^2 = 0 ]

Шаг 2: Замена переменных

Поскольку (y = \sin x) и (z = \cos x), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, чтобы упростить уравнение. Но попробуем решить его как систему уравнений, если (z \neq 0):

Разделим всё уравнение на (z^2) (при условии, что (z \neq 0)):

[ 6\left(\frac{y}{z}\right)^2 + 13\left(\frac{y}{z}\right) + 2 = 0 ]

Пусть (t = \frac{y}{z} = \tan x), тогда уравнение становится:

[ 6t^2 + 13t + 2 = 0 ]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение относительно (t):

[ 6t^2 + 13t + 2 = 0 ]

Для решения этого уравнения используем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 ]

Корни уравнения:

[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{121}}{12} ]

[ t_1 = \frac{-13 + 11}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} ]

[ t_2 = \frac{-13 - 11}{12} = \frac{-24}{12} = -2 ]

Шаг 4: Найдем углы

1. (t = \tan x = -\frac{1}{6})

   (\tan x = -\frac{1}{6}) означает, что:

   [ x = \arctan\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

2. (t = \tan x = -2)

   (\tan x = -2) означает, что:

   [ x = \arctan(-2) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение данного тригонометрического уравнения:

[ x = \arctan\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n \quad \text{и} \quad x = \arctan(-2) + \pi m, \quad n, m \in \mathbb{Z} ]