Решите уравнение; 2cos(2x) + 4cos( 3п/2 - x) + 1 =0 Укажите корни этого уравнения,принадлежащие отрезку...

Корни уравнения 2cos(2x) + 4cos( 3п/2 - x) + 1 = 0 на отрезке [3п/2;3п] не существуют.

Для решения уравнения (2\cos(2x) + 4\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + 1 = 0), сначала упростим его, используя тригонометрические формулы.

1. Преобразуем (\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)):

[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \sin(x) ]

Таким образом, уравнение становится:

[ 2\cos(2x) + 4\sin(x) + 1 = 0 ]

1. Используем формулу двойного угла для косинуса:

[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 ]

Тогда уравнение принимает вид:

[ 2(2\cos^2(x) - 1) + 4\sin(x) + 1 = 0 ]

Раскроем скобки:

[ 4\cos^2(x) - 2 + 4\sin(x) + 1 = 0 ]

Упрощаем:

[ 4\cos^2(x) + 4\sin(x) - 1 = 0 ]

1. Заметим, что ( \cos^2(x) ) можно выразить через ( \sin(x) ):

[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) ]

Подставим это в уравнение:

[ 4(1 - \sin^2(x)) + 4\sin(x) - 1 = 0 ]

Раскроем скобки:

[ 4 - 4\sin^2(x) + 4\sin(x) - 1 = 0 ]

Упрощаем:

[ -4\sin^2(x) + 4\sin(x) + 3 = 0 ]

1. Поделим все уравнение на -1:

[ 4\sin^2(x) - 4\sin(x) - 3 = 0 ]

Обозначим ( t = \sin(x) ). Тогда у нас получается квадратное уравнение:

[ 4t^2 - 4t - 3 = 0 ]

1. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 ]

Корни квадратного уравнения:

[ t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8} ]

Получаем два корня:

[ t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} ]

[ t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} ]

Так как ( \sin(x) ) должно быть в пределах от -1 до 1, только ( t_2 = -\frac{1}{2} ) является допустимым значением.

1. Найдем ( x ), при которых ( \sin(x) = -\frac{1}{2} ). Это происходит в точках:

[ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

1. Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку ([ \frac{3\pi}{2}; 3\pi ]).

Проверим точку ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi ):

Для ( k = 0 ):

[ x = \frac{7\pi}{6} ]

Эта точка не лежит в заданном отрезке.

Для ( k = 1 ):

[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} ]

Проверим лежит ли (\frac{19\pi}{6}) на отрезке ([ \frac{3\pi}{2}; 3\pi ]):

[ \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9\pi}{6} ]

[ 3\pi = \frac{18\pi}{6} ]

Таким образом:

[ \frac{9\pi}{6} \leq \frac{19\pi}{6} \leq \frac{18\pi}{6} ]

(\frac{19\pi}{6}) не принадлежит заданному отрезку.

Таким образом, корней на отрезке ([ \frac{3\pi}{2}; 3\pi ]) нет.

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его: 2cos(2x) + 4cos(3π/2 - x) + 1 = 0 cos(2x) + 2cos(3π/2 - x) + 0.5 = 0 cos(2x) - 2sin(x) + 0.5 = 0 cos(2x) - 2sin(x) + cos(π/3) = 0 cos(2x) + cos(π/3) - 2sin(x) = 0

Теперь воспользуемся формулой суммы косинусов: cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(2x) + cos(π/3) = 2cos((2x + π/3)/2)cos((2x - π/3)/2) = 2cos(x + π/6)cos(x - π/6) = 2cos^2(x) - sin^2(π/6) = 2cos^2(x) - 0.75

Подставим полученное в уравнение: 2cos^2(x) - 0.75 - 2sin(x) = 0 2cos^2(x) - 2sin(x) - 0.75 = 0 cos^2(x) - sin(x) - 0.375 = 0

Теперь это уравнение уже в квадратном виде, можно решить его с помощью методов решения квадратных уравнений. Найдем корни уравнения и проверим их принадлежность отрезку [3π/2;3π].