Решите уравнение 2^x^2-3x=1/4

Для решения данного уравнения используем метод замены переменной. Обозначим x^2 - 3x за y. Тогда уравнение примет вид 2^y = 1/4.

Преобразуем правую часть уравнения: 1/4 = 2^(-2).

Таким образом, уравнение примет вид 2^y = 2^(-2).

Сравнивая степени, получаем y = -2.

Теперь подставляем обратно x^2 - 3x = -2.

Получаем квадратное уравнение x^2 - 3x + 2 = 0.

Далее решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-3)^2 - 412 = 9 - 8 = 1.

Таким образом, дискриминант равен 1, что означает, что у уравнения есть два вещественных корня.

Находим корни уравнения: x1 = (3 + √1)/2 = 2, x2 = (3 - √1)/2 = 1.

Итак, решения уравнения 2^x^2-3x=1/4: x1 = 2, x2 = 1.

Давайте рассмотрим уравнение (2^{x^2 - 3x} = \frac{1}{4}).

Первым шагом будет упростить правую часть уравнения. Заметим, что (\frac{1}{4}) можно представить как (2^{-2}), так как (4 = 2^2). Поэтому уравнение перепишется в виде:

[ 2^{x^2 - 3x} = 2^{-2}. ]

Так как основания степеней равны, то мы можем приравнять показатели степеней:

[ x^2 - 3x = -2. ]

Теперь решим квадратное уравнение:

[ x^2 - 3x + 2 = 0. ]

Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители. Ищем два числа, произведение которых равно (2) (свободный член), а сумма равна (-3) (коэффициент при (x)).

Эти числа — (-1) и (-2). Таким образом, уравнение можно записать в виде:

[ (x - 1)(x - 2) = 0. ]

Отсюда находим корни:

[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, ] [ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2. ]

Таким образом, уравнение имеет два решения: (x = 1) и (x = 2).

Теперь проверим оба решения:

1. Если (x = 1):

   Подставляем в исходное уравнение:

   [ 2^{1^2 - 3 \cdot 1} = 2^{1 - 3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}. ]

   Это верно.

2. Если (x = 2):

   Подставляем в исходное уравнение:

   [ 2^{2^2 - 3 \cdot 2} = 2^{4 - 6} = 2^{-2} = \frac{1}{4}. ]

   Это также верно.

Таким образом, оба решения удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: (x = 1) и (x = 2).