Решите уравнение : 4^(x^2-2x+1)+4^(x^2-2x)=20 Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие...

Для решения уравнения 4^(x^2-2x+1) + 4^(x^2-2x) = 20 начнем с упрощения показателей степеней. Видно, что выражение x^2-2x можно представить в виде ( (x-1)^2 - 1 ), используя формулу квадрата разности. Тогда уравнение примет вид:

[ 4^{((x-1)^2)} + 4^{((x-1)^2 - 1)} = 20. ]

Пусть ( u = 4^{((x-1)^2 - 1)} ), тогда ( 4u = 4^{((x-1)^2)} ). Подставляем эти обозначения в исходное уравнение:

[ 4u + u = 20 ] [ 5u = 20 ] [ u = 4. ]

Так как ( u = 4^{((x-1)^2 - 1)} ), то

[ 4^{((x-1)^2 - 1)} = 4 ] [ (x-1)^2 - 1 = 2 ] [ (x-1)^2 = 3. ]

Отсюда:

[ x-1 = \sqrt{3} ] [ x = 1 + \sqrt{3} ]

или

[ x-1 = -\sqrt{3} ] [ x = 1 - \sqrt{3}. ]

Теперь проверим, какие из этих корней принадлежат отрезку (-1; 2).

1. ( 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732 ) — не принадлежит отрезку (-1; 2).
2. ( 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732 ) — принадлежит отрезку (-1; 2).

Итак, единственный корень уравнения, принадлежащий отрезку (-1; 2), это ( x = 1 - \sqrt{3} ).

x = 1

Для начала преобразуем уравнение:

4^(x^2-2x+1) + 4^(x^2-2x) = 20

4^(x^2-2x) * 4^1 + 4^(x^2-2x) = 20

4^(x^2-2x) * 4 + 4^(x^2-2x) = 20

4 * 4^(x^2-2x) + 4^(x^2-2x) = 20

Объединим слагаемые:

4 * 4^(x^2-2x) + 4^(x^2-2x) = 20

5 * 4^(x^2-2x) = 20

4^(x^2-2x) = 20 / 5

4^(x^2-2x) = 4

Теперь приведем уравнение в виде 4^a = 4, где a = x^2 - 2x:

4^a = 4

a = 1

Теперь найдем корни уравнения x^2 - 2x = 1:

x^2 - 2x - 1 = 0

D = 4 + 4 = 8

x1,2 = (2 ± √8) / 2

x1 = (2 + √8) / 2 ≈ 2.41

x2 = (2 - √8) / 2 ≈ -0.41

Из полученных корней отберем те, которые принадлежат отрезку (-1; 2):

x1 ≈ 2.41 не подходит, так как больше 2

x2 ≈ -0.41 подходит, так как находится в интервале (-1; 2)

Таким образом, корень уравнения на отрезке (-1; 2) равен примерно -0.41.