Решите уравнение 54/х+25=х

Решим уравнение:

[ \frac{54}{x} + 25 = x ]

Для начала избавимся от дроби. Перенесем (25) на правую сторону уравнения, получим:

[ \frac{54}{x} = x - 25 ]

Теперь умножим обе стороны уравнения на (x), чтобы убрать знаменатель:

[ 54 = x(x - 25) ]

Раскроем скобки:

[ 54 = x^2 - 25x ]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, перенеся все члены на одну сторону:

[ x^2 - 25x - 54 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем его дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае (a = 1), (b = -25), (c = -54):

[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) ] [ D = 625 + 216 ] [ D = 841 ]

Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два действительных корня. Найдем эти корни с помощью формулы:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим наши значения:

[ x{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{841}}{2} ] [ x{1,2} = \frac{25 \pm 29}{2} ]

Найдем каждый из двух корней:

[ x_1 = \frac{25 + 29}{2} = \frac{54}{2} = 27 ]

[ x_2 = \frac{25 - 29}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

Таким образом, уравнение имеет два корня:

[ x = 27 ]

и

[ x = -2 ]

Проверим каждый корень подстановкой в исходное уравнение:

1. Если (x = 27):

[ \frac{54}{27} + 25 = 27 ] [ 2 + 25 = 27 ] [ 27 = 27 ] (верно)

1. Если (x = -2):

[ \frac{54}{-2} + 25 = -2 ] [ -27 + 25 = -2 ] [ -2 = -2 ] (верно)

Оба корня удовлетворяют уравнению. Таким образом, ответ:

[ x = 27 ] [ x = -2 ]

Для того чтобы решить уравнение ( \frac{54}{x} + 25 = x ), сначала приведем его к общему знаменателю, умножив обе части на ( x ):

( 54 + 25x = x^2 )

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

( x^2 - 25x - 54 = 0 )

Далее, решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант ( D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 625 + 216 = 841 )

Корни уравнения будут:

( x_1 = \frac{25 + \sqrt{841}}{2} = \frac{25 + 29}{2} = 27 )

( x_2 = \frac{25 - \sqrt{841}}{2} = \frac{25 - 29}{2} = -2 )

Таким образом, уравнение ( \frac{54}{x} + 25 = x ) имеет два корня: ( x = 27 ) и ( x = -2 ).