Решите уравнение: а) cost= 1/2 б) cos(пи/2 + t)= -корень из 3/2
Решите уравнение: а) cost= 1/2 б) cos(пи/2 + t)= -корень из 3/2
а) t = π/3 + 2πn, t = 5π/3 + 2πn б) t = -π/6 + 2πn, t = 7π/6 + 2πn
а) Для решения уравнения cos(t) = 1/2 найдем все значения угла t, для которых косинус равен 1/2. Обратимся к графику функции косинуса и увидим, что значения косинуса равны 1/2 в точках, где угол t равен pi/3 и 5pi/3. Таким образом, уравнение cos(t) = 1/2 имеет два решения: t = pi/3 и t = 5pi/3.
б) Для решения уравнения cos(pi/2 + t) = -√3/2 применим формулу косинуса суммы: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b). Подставим значения a = pi/2 и b = t в формулу: cos(pi/2 + t) = cos(pi/2)cos(t) - sin(pi/2)sin(t) cos(pi/2 + t) = 0 cos(t) - 1 sin(t) cos(pi/2 + t) = -sin(t).
Таким образом, уравнение сводится к -sin(t) = -√3/2. Решая данное уравнение, получаем sin(t) = √3/2. Так как sin(pi/3) = √3/2, то t = pi/3. Таким образом, решение уравнения cos(pi/2 + t) = -√3/2 равно t = pi/3.
а) Уравнение ( \cos t = \frac{1}{2} ) имеет решения в тех точках, где значение косинуса равно 1/2. Известно, что ( \cos t = \frac{1}{2} ) при ( t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k ), где ( k ) — целое число. Это следует из основных свойств тригонометрических функций и их периодичности. Косинус имеет период ( 2\pi ), поэтому все решения можно записать как: [ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
б) Уравнение ( \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ) требует немного преобразований. Сначала заметим, что ( \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t ) (используя формулу сдвига для косинуса). Теперь уравнение принимает вид ( -\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} ), откуда ( \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Значения ( t ), при которых ( \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} ), находятся в точках ( t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k ) или ( t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k ), где ( k ) — целое число. Это также следует из свойств периодичности синуса и его значения на единичной окружности.
Итак, ответы: а) ( t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ) б) ( t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k ) или ( t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} )
