Решите уравнение cos^2x-cos2x=0,5. Найдите корни принадлежащему отрезку [-3П/2; -П/2]

Для решения уравнения (\cos^2 x - \cos 2x = 0.5), воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

Во-первых, используем формулу для косинуса двойного угла: [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1. ] Подставим это в уравнение: [ \cos^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 0.5. ] Упростим выражение: [ \cos^2 x - 2\cos^2 x + 1 = 0.5. ] [ -\cos^2 x + 1 = 0.5. ] [ -\cos^2 x = 0.5 - 1. ] [ -\cos^2 x = -0.5. ] Теперь умножим обе стороны уравнения на -1: [ \cos^2 x = 0.5. ] Найдем (\cos x): [ \cos x = \pm \sqrt{0.5} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Теперь необходимо найти значения (x) на отрезке ([-3\pi/2; -\pi/2]), при которых (\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}).

1. Для (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}), углы могут быть следующими: (x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) или (x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k), где (k) — целое число.
2. Для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}), углы могут быть: (x = -\frac{5\pi}{4} + 2\pi k) или (x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k).

Теперь найдем конкретные углы, удовлетворяющие этим условиям на заданном отрезке:

1. Для (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}):

   • (x = -\frac{3\pi}{4}) (при (k = 0)).

2. Для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}):

   • (x = -\frac{5\pi}{4}) (при (k = 0)).

Таким образом, корни уравнения на отрезке ([-3\pi/2; -\pi/2]) — это: [ x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = -\frac{5\pi}{4}. ]

Для начала преобразуем уравнение cos^2x - cos2x = 0,5. Используя формулу двойного угла для косинуса cos2x = 2cos^2x - 1, получим: cos^2x - (2cos^2x - 1) = 0,5, Или после преобразований: cos^2x - 2cos^2x + 1,5 = 0,

• cos^2x + 1,5 = 0, cos^2x = 1,5.

Теперь найдем корни уравнения cos^2x = 1,5 на отрезке [-3π/2; -π/2]. Так как квадрат косинуса не может быть больше 1, то уравнение не имеет решений на данном отрезке.