Решите уравнение f'(x)=0, где f(x)=x^3-3x^2+3x-4

Для того чтобы найти точки экстремума функции f(x), необходимо решить уравнение f'(x) = 0. Для данной функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 4, найдем производную: f'(x) = 3x^2 - 6x + 3.

Теперь решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 6x + 3 = 0.

Для нахождения корней данного уравнения воспользуемся квадратным уравнением: D = (-6)^2 - 4 3 3 = 36 - 36 = 0.

D = 0, следовательно, уравнение имеет один корень: x = -(-6) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1.

Таким образом, точка экстремума функции f(x) находится при x = 1.

Для того чтобы найти точки, где производная функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 4 ) равна нулю, сначала нужно найти саму производную ( f'(x) ).

1. Нахождение производной:

   Производная ( f(x) ) берётся по стандартным правилам дифференцирования. Если ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 4 ), то используем производные для степенных функций:

   [ \frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 ] [ \frac{d}{dx} (-3x^2) = -6x ] [ \frac{d}{dx} (3x) = 3 ] [ \frac{d}{dx} (-4) = 0 ]

   Таким образом, производная ( f(x) ) будет:

   [ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 ]

2. Решение уравнения ( f'(x) = 0 ):

   Теперь нам нужно решить уравнение:

   [ 3x^2 - 6x + 3 = 0 ]

   Это квадратное уравнение. Чтобы его решить, можно воспользоваться дискриминантом, формулой для корней квадратного уравнения или заметить, что оно может быть упрощено.

   Видим, что можно упростить уравнение, разделив его на 3:

   [ x^2 - 2x + 1 = 0 ]

   Распознаем, что это полный квадрат:

   [ (x - 1)^2 = 0 ]

   Таким образом, единственный корень уравнения:

   [ x - 1 = 0 \implies x = 1 ]

3. Проверка и контекст:

   Решение ( x = 1 ) означает, что при ( x = 1 ) производная функции ( f(x) ) равна нулю. Это указывает на то, что ( x = 1 ) является критической точкой функции ( f(x) ). В критической точке производная функции меняется или равна нулю, что может соответствовать максимуму, минимуму или точке перегиба.

   Чтобы понять природу критической точки ( x = 1 ), можно провести второй анализ производной или проверить знаки производной до и после точки ( x = 1 ):

   [ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x + 3) = 6x - 6 ]

   Подставим ( x = 1 ) в ( f''(x) ):

   [ f''(1) = 6(1) - 6 = 0 ]

   Поскольку вторая производная в этой точке равна нулю, это не даёт нам прямого ответа о природе критической точки. Нужно исследовать функцию дополнительно или использовать другие методы анализа.

Таким образом, решение уравнения ( f'(x) = 0 ) для данной функции даёт ( x = 1 ). Это критическая точка, и дальнейший анализ может потребоваться для определения её точной природы.