Решите уравнение Х^2/х+3=9/х+3

Чтобы решить уравнение (\frac{X^2}{X+3} = \frac{9}{X+3}), начнем с того, что обе стороны уравнения имеют общий знаменатель (X+3), при условии что (X \neq -3) (иначе дробь будет неопределенной).

Мы можем умножить обе стороны уравнения на (X + 3) (при условии, что (X + 3 \neq 0)):

[ X^2 = 9 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Переносим все в одну сторону:

[ X^2 - 9 = 0 ]

Это уравнение можно разложить на множители:

[ (X - 3)(X + 3) = 0 ]

Теперь находим корни:

1. (X - 3 = 0 \Rightarrow X = 3)
2. (X + 3 = 0 \Rightarrow X = -3)

Теперь проверим, какие из найденных значений являются решениями исходного уравнения. Мы уже заметили, что (X \neq -3), так как это приведет к делению на ноль в исходном уравнении. Таким образом, (X = -3) не является допустимым решением.

Теперь проверим (X = 3):

Подставляем (X = 3) в исходное уравнение:

[ \frac{3^2}{3 + 3} = \frac{9}{3 + 3} ]

Теперь вычислим обе стороны:

Слева:

[ \frac{9}{6} = \frac{3}{2} ]

Справа:

[ \frac{9}{6} = \frac{3}{2} ]

Обе стороны равны, значит (X = 3) является решением.

Таким образом, единственное решение уравнения (\frac{X^2}{X+3} = \frac{9}{X+3}) — это:

[ X = 3 ]

Рассмотрим уравнение:

[ \frac{x^2}{x+3} = \frac{9}{x+3}. ]

1. Проверка области допустимых значений (ОДЗ):

Для начала определим, при каких значениях (x) выражение имеет смысл. Знаменатели (x+3) не должны быть равны нулю. Следовательно:

[ x+3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -3. ]

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: (x \neq -3).

2. Умножение обеих частей уравнения на (x+3):

При этом важно учитывать, что (x \neq -3) из ОДЗ, чтобы знаменатель (x+3) не обращался в ноль. Умножим обе части уравнения:

[ x^2 = 9. ]

3. Решение уравнения (x^2 = 9):

Квадратный корень из 9 может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно:

[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3. ]

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ:

Мы ранее установили, что (x \neq -3). Поэтому корень (x = -3) не принадлежит ОДЗ и его нужно исключить.

Остаётся единственный корень:

[ x = 3. ]

5. Проверка полученного решения:

Подставим (x = 3) в исходное уравнение:

[ \frac{x^2}{x+3} = \frac{9}{x+3}. ]

Подставим (x = 3):

[ \frac{3^2}{3+3} = \frac{9}{3+3}. ]

[ \frac{9}{6} = \frac{9}{6}. ]

Левая часть равна правой, следовательно, (x = 3) является решением.

Ответ:

[ x = 3. ]