Решите уравнение : Корень из x^2 -10 = корень из -3x

x = -5

Рассмотрим уравнение:

[ \sqrt{x^2 - 10} = \sqrt{-3x} ]

Для начала обратим внимание на области определения корней. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, то есть:

[ x^2 - 10 \geq 0 \quad \text{и} \quad -3x \geq 0 ]

Рассмотрим первое неравенство:

[ x^2 - 10 \geq 0 ]

[ x^2 \geq 10 ]

Здесь два случая:

[ x \leq -\sqrt{10} \quad \text{или} \quad x \geq \sqrt{10} ]

Теперь рассмотрим второе неравенство:

[ -3x \geq 0 ]

[ x \leq 0 ]

Объединим эти условия. Получается, что (x) должен быть одновременно (x \leq -\sqrt{10}) и ( x \leq 0). Таким образом, ( x \leq -\sqrt{10} ).

Теперь, чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

[ (\sqrt{x^2 - 10})^2 = (\sqrt{-3x})^2 ]

[ x^2 - 10 = -3x ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ x^2 + 3x - 10 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения вида (ax^2 + bx + c = 0), дискриминант (D) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае (a = 1), (b = 3), (c = -10):

[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} ]

[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{2} ]

[ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]

[ x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ]

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни области определения (x \leq -\sqrt{10}). Поскольку (\sqrt{10} \approx 3.16), то (-\sqrt{10} \approx -3.16). Следовательно, (x_1 = 2) не подходит, так как (2 > -\sqrt{10}).

Остается только корень (x_2 = -5), который удовлетворяет области определения (x \leq -\sqrt{10}).

Проверим (x = -5) в исходном уравнении:

[ \sqrt{(-5)^2 - 10} = \sqrt{-3 \cdot (-5)} ]

[ \sqrt{25 - 10} = \sqrt{15} ]

[ \sqrt{15} = \sqrt{15} ]

Таким образом, (x = -5) является решением уравнения.

Ответ: (x = -5).

Для решения данного уравнения перенесем один из корней на другую сторону, чтобы избавиться от корней: корень из x^2 - корень из -3x = 10

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: x^2 - корень из x^2*(-3x) + 3x = 100

Раскроем скобки: x^2 - x*корень из x^2 - 3x = 100

Теперь выразим корень из x^2 через x: x^2 - x*|x| - 3x = 100

Теперь найдем корни уравнения: x^2 - 4x = 100 x^2 - 4x - 100 = 0

Далее решим уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 4^2 - 41(-100) = 16 + 400 = 416

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (4 ± √416) / 2 x1,2 = (4 ± 20.4) / 2

Таким образом, корни уравнения равны: x1 = (4 + 20.4) / 2 = 24.4 / 2 = 12.2 x2 = (4 - 20.4) / 2 = -16.4 / 2 = -8.2

Ответ: x1 = 12.2, x2 = -8.2.