Решите уравнение log_(x+5)4=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из...

Для решения уравнения (\log_{(x+5)} 4 = 2), необходимо воспользоваться свойствами логарифмов. Давайте подробно разберем процесс решения:

1. Определение логарифма: По определению логарифма, выражение (\log_b a = c) означает, что (b^c = a). В нашем случае (b = x + 5), (a = 4), и (c = 2).

2. Перепишем уравнение: [ \log_{(x+5)} 4 = 2 \implies (x + 5)^2 = 4 ]

3. Решение квадратного уравнения: Теперь нам нужно решить уравнение ((x + 5)^2 = 4).

   [ (x + 5)^2 = 4 ]

   Это уравнение можно решить, извлекая квадратный корень из обеих частей:

   [ x + 5 = \pm 2 ]

4. Нахождение корней: У нас получается два уравнения:

   [ x + 5 = 2 \quad \text{или} \quad x + 5 = -2 ]

   Решим каждое из них:

   [ x + 5 = 2 \implies x = 2 - 5 = -3 ]

   [ x + 5 = -2 \implies x = -2 - 5 = -7 ]

5. Проверка корней: Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям логарифма (основание логарифма должно быть больше 1):

   • Для (x = -3):

     [ x + 5 = -3 + 5 = 2 \quad (\text{условие выполнено, так как } 2 > 1) ]

   • Для (x = -7):

     [ x + 5 = -7 + 5 = -2 \quad (\text{условие не выполнено, так как } -2 < 1) ]

   Таким образом, значение (x = -7) не удовлетворяет условию логарифма.

6. Ответ: Единственным решением уравнения, удовлетворяющим всем условиям, является (x = -3).

Следовательно, уравнение (\log_{(x+5)} 4 = 2) имеет один корень:

[ \boxed{-3} ]

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его в экспоненциальную форму. Воспользуемся свойствами логарифмов:

log_(x+5)4 = 2 4 = (x+5)^2 2 = x+5

Теперь найдем значение x:

x = 2 - 5 x = -3

Таким образом, корень уравнения log_(x+5)4=2 равен -3.