Решите уравнение методом новой переменной 9x^4-13x^2+4=0
Решите уравнение методом новой переменной 9x^4-13x^2+4=0
Для решения данного уравнения методом новой переменной воспользуемся заменой переменной: пусть t = x^2. Тогда уравнение примет вид 9t^2 - 13t + 4 = 0.
Далее решим полученное квадратное уравнение при помощи дискриминанта. Дискриминант D = (-13)^2 - 494 = 169 - 144 = 25.
Так как D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле квадратного уравнения: t1,2 = (13 ± √25) / (2*9) = (13 ± 5) / 18.
Итак, получаем два значения переменной t: t1 = 3/2 и t2 = 2/3. Теперь найдем соответствующие корни исходного уравнения, заменяя t на x^2:
1) x^2 = 3/2 => x = ±√(3/2) = ±√3 / √2 = ±√(3/2) = ±√3 / 2; 2) x^2 = 2/3 => x = ±√(2/3) = ±√2 / √3 = ±√(2/3) = ±√2 / 3.
Таким образом, уравнение 9x^4 - 13x^2 + 4 = 0 имеет четыре корня: x1 = √3 / 2, x2 = -√3 / 2, x3 = √2 / 3, x4 = -√2 / 3.
Чтобы решить уравнение (9x^4 - 13x^2 + 4 = 0) методом новой переменной, сначала введём замену. Пусть (y = x^2). Тогда уравнение переписывается в терминах новой переменной (y):
[9y^2 - 13y + 4 = 0.]
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно (y), которое можно решить с помощью дискриминанта. Квадратное уравнение имеет вид (ay^2 + by + c = 0), где (a = 9), (b = -13), (c = 4).
Дискриминант (D) вычисляется по формуле:
[D = b^2 - 4ac.]
Подставим наши значения:
[D = (-13)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 169 - 144 = 25.]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдём их по формуле:
[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]
Подставим значения:
[y_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{18} = \frac{13 \pm 5}{18}.]
Таким образом, получаем два корня:
[y_1 = \frac{13 + 5}{18} = \frac{18}{18} = 1,]
[y_2 = \frac{13 - 5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}.]
Теперь вернёмся к первоначальной переменной (x). Вспомним, что (y = x^2), и решим два уравнения:
Таким образом, уравнение (9x^4 - 13x^2 + 4 = 0) имеет четыре корня: (x = 1), (x = -1), (x = \frac{2}{3}), и (x = -\frac{2}{3}).
