Решите уравнение Sin^2 3x = 3/4

Давайте решим уравнение (\sin^2(3x) = \frac{3}{4}) шаг за шагом.

Шаг 1. Избавимся от квадрата синуса

[ \sin^2(3x) = \frac{3}{4} ] Берём квадратный корень с обеих сторон. Не забываем учитывать обе возможные корневые ветви ((+) и (-)), поскольку квадрат числа всегда положителен. Получаем: [ \sin(3x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} ] Так как (\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}), то уравнение принимает вид: [ \sin(3x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Шаг 2. Решим уравнение для (\sin(3x))

Рассмотрим два случая:

1. (\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2})

Мы знаем, что (\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}) при (\theta = \frac{\pi}{3} + 2\pi k) (где (k \in \mathbb{Z})) и (\theta = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k). Подставляем это в выражение для (3x): [ 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

2. (\sin(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2})

Мы знаем, что (\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) при (\theta = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k) (где (k \in \mathbb{Z})) и (\theta = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k). Подставляем это в выражение для (3x): [ 3x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 3x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Шаг 3. Разделим на 3

Чтобы найти (x), делим каждое выражение на 3:

Для (\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}):

1. (x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}),
2. (x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}).

Для (\sin(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}):

1. (x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}),
2. (x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \, k \in \mathbb{Z}).

Общий ответ:

Объединяя все решения, получаем: [ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Для решения уравнения (\sin^2(3x) = \frac{3}{4}) сначала найдём (\sin(3x)):

[ \sin(3x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Теперь решим два случая:

1. (\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}): [ 3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

2. (\sin(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}): [ 3x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Теперь делим все уравнения на 3:

1. (x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
2. (x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
3. (x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
4. (x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})

Таким образом, общее решение уравнения: [ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Чтобы решить уравнение (\sin^2(3x) = \frac{3}{4}), начнем с того, что возьмем квадратный корень с обеих сторон уравнения. Это даст нам два случая:

1. (\sin(3x) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2})
2. (\sin(3x) = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2})

Теперь будем решать каждый из этих случаев отдельно.

Решение первого случая: (\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2})

Значение (\sin) равно (\frac{\sqrt{3}}{2}) в двух местах на единичной окружности:

1. (3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число.
2. (3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число.

Теперь разделим на 3:

1. (x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
2. (x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})

Решение второго случая: (\sin(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2})

Значение (\sin) равно (-\frac{\sqrt{3}}{2}) также в двух местах:

1. (3x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число.
2. (3x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число.

Теперь, как и ранее, разделим на 3:

1. (x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
2. (x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})

Обобщение решения

Теперь у нас есть четыре обобщенных решения:

1. (x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
2. (x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
3. (x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})
4. (x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3})

Где (k) — любое целое число. Это и есть общее решение уравнения (\sin^2(3x) = \frac{3}{4}).