Решите уравнение x^{4}- 11 x{2} +18=0

x^4 - 11x^2 + 18 = 0 (x^2 - 2)(x^2 - 9) = 0 (x - √2)(x + √2)(x - 3)(x + 3) = 0 x = ±√2, ±3

Для решения данного уравнения x^{4} - 11x^{2} + 18 = 0 можно воспользоваться методом замены переменной. Обозначим x^{2} = y. Тогда уравнение примет вид y^{2} - 11y + 18 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем два корня: y{1} = 9 и y{2} = 2. Далее подставим обратно y = x^{2} и решим два уравнения: x^{2} = 9 и x^{2} = 2. Получаем четыре корня: x{1} = 3, x{2} = -3, x{3} = \sqrt{2} и x{4} = -\sqrt{2}. Таким образом, уравнение x^{4} - 11x^{2} + 18 = 0 имеет четыре корня: x = 3, x = -3, x = \sqrt{2} и x = -\sqrt{2}.

Для решения уравнения (x^4 - 11x^2 + 18 = 0) можно использовать замену переменной. Обозначим (y = x^2). Тогда уравнение преобразуется в:

[ y^2 - 11y + 18 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно переменной (y). Решим его с помощью формулы квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где (a = 1), (b = -11), (c = 18). Подставим эти значения:

[ y = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}. ]

Посчитаем дискриминант:

[ (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49. ]

Так как дискриминант равен 49, который является полным квадратом, то уравнение имеет два вещественных корня. Найдем их:

[ y = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2}. ]

[ y = \frac{11 \pm 7}{2}. ]

Теперь найдем значения (y):

1. ( y_1 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9, )
2. ( y_2 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2. )

Теперь вернемся к переменной (x). Поскольку (y = x^2), мы имеем два уравнения:

1. ( x^2 = 9 ),
2. ( x^2 = 2 ).

Решим их:

1. ( x^2 = 9 ) дает ( x = \pm 3 ),
2. ( x^2 = 2 ) дает ( x = \pm \sqrt{2} ).

Таким образом, уравнение (x^4 - 11x^2 + 18 = 0) имеет четыре корня:

[ x = 3, \, x = -3, \, x = \sqrt{2}, \, x = -\sqrt{2}. ]