Решите уравнение: y^3-2y^2=y-2

Решим уравнение ( y^3 - 2y^2 = y - 2 ).

Сначала приведем уравнение к стандартному виду, переместив все члены на одну сторону уравнения:

[ y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0. ]

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Один из методов решения кубического уравнения — это нахождение его рациональных корней методом подбора или с помощью теоремы о рациональных корнях. Теорема о рациональных корнях (рациональных коэффициентов) гласит, что если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень (\frac{p}{q}), то (p) делит свободный член, а (q) — старший коэффициент.

В нашем случае старший коэффициент равен 1, а свободный член равен 2. Поэтому возможные рациональные корни уравнения могут быть: (\pm 1), (\pm 2).

Проверим эти значения:

1. ( y = 1 ): [ 1^3 - 2 \times 1^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0. ] Это уравнение верно, значит, ( y = 1 ) — корень уравнения.

Теперь, когда мы нашли один корень, можно разложить многочлен на множители, используя деление многочлена на ( y - 1 ). Это делается с помощью схемы Горнера или деления столбиком. Делим:

[ y^3 - 2y^2 - y + 2 \div (y - 1) ]

В результате деления получаем:

[ y^3 - 2y^2 - y + 2 = (y - 1)(y^2 - y - 2). ]

Теперь решим квадратное уравнение ( y^2 - y - 2 = 0 ).

Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта:

Дискриминант ( D = b^2 - 4ac ), где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ).

[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9. ]

Корни квадратного уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2}. ]

Получаем корни:

[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1. ]

Таким образом, у уравнения ( y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0 ) есть три корня: ( y = 1 ), ( y = 2 ), ( y = -1 ).

Ответ: ( y = 1 ), ( y = 2 ), ( y = -1 ).

y = 1, y = -1, y = 2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к виду, удобному для решения: y^3 - 2y^2 = y - 2 y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0 y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0

Теперь попробуем найти корни данного уравнения. Для этого можно воспользоваться методом подбора. Подбором можно найти, что одним из корней уравнения является y = 1. Таким образом, делим уравнение на (y - 1) и получаем: (y - 1)(y^2 - y - 2) = 0

Теперь решим квадратное уравнение y^2 - y - 2 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 41(-2) = 1 + 8 = 9

Таким образом, дискриминант равен 9, что говорит о том, что уравнение имеет два действительных корня. Подставляя значения в формулу: y1,2 = (-(-1) ± √9) / 2*1 y1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 y2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Итак, корни уравнения y^3 - 2y^2 = y - 2 равны y = 1, y = 2, y = -1.