Решите уравнение:х4+15х2-16=0

Для решения данного уравнения ( x^4 + 15x^2 - 16 = 0 ) можно использовать метод замены переменных. Пусть ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:

[ y^2 + 15y - 16 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( y ). Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = 15 ), и ( c = -16 ). Подставляем эти значения:

[ y = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} ] [ y = \frac{-15 \pm \sqrt{289}}{2} ] [ y = \frac{-15 \pm 17}{2} ]

Из этого следуют два возможных значения для ( y ):

1. ( y = \frac{-15 + 17}{2} = 1 )
2. ( y = \frac{-15 - 17}{2} = -16 )

Поскольку ( y = x^2 ) и ( x^2 ) не может быть отрицательным, значение ( y = -16 ) отбрасываем. Остаётся ( y = 1 ), что приводит к ( x^2 = 1 ).

Решая ( x^2 = 1 ), получаем:

[ x = \pm \sqrt{1} ] [ x = \pm 1 ]

Таким образом, корни исходного уравнения ( x^4 + 15x^2 - 16 = 0 ) это ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

Для решения уравнения x^4 + 15x^2 - 16 = 0 можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим x^2 = t, тогда уравнение примет вид t^2 + 15t - 16 = 0. Решим это квадратное уравнение относительно t с помощью дискриминанта: D = 15^2 + 4116 = 225 + 64 = 289.

Найдем корни уравнения: t1,2 = (-15 ± √289) / 2*1 = (-15 ± 17) / 2. Получаем два корня: t1 = 1 и t2 = -16.

Теперь найдем значения x: x^2 = 1 => x = ±1 и x^2 = -16 => x = ±4i. Таким образом, решениями исходного уравнения будут x = ±1 и x = ±4i.