Решительно ,пожалуйста, уравнение 2cos^2(п/2+x)=√2sinx Найдите все его корни,принадлежащие отрезку (-5п;7п/2)

2cos^2(π/2 + x) = √2sinx

cos(π/2 + x) = ±√2sinx

sin(x) = ±√2cos(π/2 + x)

sin(x) = ±√2sin(π/2 - x)

x = π/2 - x + 2kπ или x = π - π/2 + x + 2kπ

x = π/4 + 2kπ или x = 3π/2 + 2kπ

x = π/4, 9π/4, 3π/2, 7π/2 (корни, принадлежащие отрезку (-5π; 7π/2))

Для начала преобразуем уравнение: 2cos^2(π/2+x) = √2sinx 2(1 - sin^2(π/2 + x)) = √2sinx 2cos^2(x) = √2sinx 2(1 - sin^2(x)) = √2sinx 2 - 2sin^2(x) = √2sinx 2sin^2(x) + √2sinx - 2 = 0

Далее, проведем замену: y = sin(x) 2y^2 + √2y - 2 = 0

Решим квадратное уравнение: D = (√2)^2 - 42(-2) = 2 + 16 = 18 y1,2 = (-√2 ± √18) / 4

y1 = (-√2 + √18) / 4 = (√18 - √2) / 4 ≈ 0.592 y2 = (-√2 - √18) / 4 = (-√18 - √2) / 4 ≈ -1.342

Теперь найдем корни уравнения в исходных переменных: sin(x) = 0.592 x = arcsin(0.592) + 2πn, x = π - arcsin(0.592) + 2πn, n ∈ Z x ≈ 0.640 + 2πn, x ≈ 2.501 + 2πn

sin(x) = -1.342 Нет решений, так как sin(x) принимает значения только в интервале [-1, 1]

Итак, корнями уравнения на отрезке (-5π, 7π/2) будут x ≈ 0.640, x ≈ 2.501.

Для решения уравнения ( 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sqrt{2}\sin{x} ) начнем с преобразования тригонометрических функций.

Сначала используем формулу приведения для косинуса: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin{x} ]

Таким образом, уравнение становится: [ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 2(-\sin{x})^2 = 2\sin^2{x} ]

Теперь уравнение имеет вид: [ 2\sin^2{x} = \sqrt{2}\sin{x} ]

Для упрощения введем замену ( \sin{x} = t ). Тогда уравнение принимает вид: [ 2t^2 = \sqrt{2}t ]

Переносим все члены на одну сторону и приводим к стандартному виду квадратного уравнения: [ 2t^2 - \sqrt{2}t = 0 ]

Вынесем общий множитель ( t ): [ t(2t - \sqrt{2}) = 0 ]

Из этого уравнения следует два решения:

1. ( t = 0 )
2. ( 2t - \sqrt{2} = 0 \rightarrow t = \frac{\sqrt{2}}{2} )

Теперь вернемся к переменной ( x ):

1. ( \sin{x} = 0 )
2. ( \sin{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} )

Рассмотрим каждое из этих уравнений отдельно.

Для (\sin{x} = 0):

Решения этого уравнения: [ x = k\pi ] где ( k ) – целое число.

Для (\sin{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}):

Значение (\frac{\sqrt{2}}{2}) достигается в точках: [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] или [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ] где ( k ) – целое число.

Теперь найдём все корни на заданном отрезке ((-5\pi; \frac{7\pi}{2})).

Решения ( x = k\pi ):

Найдём подходящие значения ( k ): [ -5\pi < k\pi < \frac{7\pi}{2} ] [ -5 < k < \frac{7}{2} ] [ k = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ]

Соответствующие значения ( x ): [ x = -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi ]

Решения ( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ):

Найдём подходящие значения ( k ): [ -5\pi < \frac{\pi}{4} + 2k\pi < \frac{7\pi}{2} ] [ -21 < 8k + 1 < 14 ] [ -22 < 8k < 13 ] [ k = -3, -2, -1, 0, 1 ]

Соответствующие значения ( x ): [ x = \frac{\pi}{4} - 6\pi = -\frac{23\pi}{4} ] [ x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4} ] [ x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} ] [ x = \frac{\pi}{4} ] [ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} ]

Решения ( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ):

Найдём подходящие значения ( k ): [ -5\pi < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < \frac{7\pi}{2} ] [ -23 < 8k + 3 < 14 ] [ -26 < 8k < 11 ] [ k = -3, -2, -1, 0, 1 ]

Соответствующие значения ( x ): [ x = \frac{3\pi}{4} - 6\pi = -\frac{21\pi}{4} ] [ x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{13\pi}{4} ] [ x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} ] [ x = \frac{3\pi}{4} ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} ]

Итак, все корни уравнения на отрезке ((-5\pi; \frac{7\pi}{2})): [ -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, -\frac{23\pi}{4}, -\frac{15\pi}{4}, -\frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, -\frac{21\pi}{4}, -\frac{13\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} ]