Решительно уравнение (2х+3)^2=(-х-7)^2

Для решения данного уравнения нам нужно воспользоваться свойством квадрата суммы и разности. Сначала раскроем скобки:

(2x + 3)^2 = (2x + 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x + 6x + 9 = 4x^2 + 12x + 9

(-x - 7)^2 = (-x - 7)(-x - 7) = x^2 + 7x + 7x + 49 = x^2 + 14x + 49

Теперь у нас есть уравнение:

4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 14x + 49

Поднимем все члены уравнения на одну сторону:

4x^2 + 12x + 9 - x^2 - 14x - 49 = 0

3x^2 - 2x - 40 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 43(-40) = 4 + 480 = 484

x = (-b ± √D) / 2a

x1 = (2 + √484) / 6 = (2 + 22) / 6 = 24 / 6 = 4

x2 = (2 - √484) / 6 = (2 - 22) / 6 = -20 / 6 = -10/3

Таким образом, корнями уравнения (2x + 3)^2 = (-x - 7)^2 являются x1 = 4 и x2 = -10/3.

Чтобы решить уравнение ((2x + 3)^2 = (-x - 7)^2), начнем с раскрытия скобок с обеих сторон уравнения.

Для левой части уравнения: [ (2x + 3)^2 = (2x + 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x + 6x + 9 = 4x^2 + 12x + 9 ]

Для правой части уравнения: [ (-x - 7)^2 = (-x - 7)(-x - 7) = x^2 + 7x + 7x + 49 = x^2 + 14x + 49 ]

Теперь у нас есть новое уравнение: [ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 14x + 49 ]

Перенесем все члены из правой части уравнения в левую, чтобы собрать все на одной стороне: [ 4x^2 + 12x + 9 - x^2 - 14x - 49 = 0 ]

Упростим это: [ 3x^2 - 2x - 40 = 0 ]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Для нашего уравнения (a = 3), (b = -2), (c = -40). Подставим эти значения в формулу: [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40)}}{2 \cdot 3} ]

Посчитаем дискриминант: [ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484 ]

Теперь найдем корни: [ x = \frac{2 \pm \sqrt{484}}{6} ]

Корень из 484 равен 22, поэтому: [ x = \frac{2 \pm 22}{6} ]

Мы получаем два возможных решения:

1. (x = \frac{2 + 22}{6} = \frac{24}{6} = 4)
2. (x = \frac{2 - 22}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3})

Проверим оба решения, подставив их обратно в изначальное уравнение:

Для (x = 4): [ (2 \cdot 4 + 3)^2 = (-4 - 7)^2 \rightarrow (8 + 3)^2 = (-11)^2 \rightarrow 11^2 = 121 ] [ (-11)^2 = 121 ] Обе стороны равны, значит, (x = 4) — это решение.

Для (x = -\frac{10}{3}): [ \left(2 \cdot -\frac{10}{3} + 3\right)^2 = \left(-\left(-\frac{10}{3}\right) - 7\right)^2 ]

Для левой части: [ 2 \cdot -\frac{10}{3} + 3 = -\frac{20}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{11}{3} ] [ \left(-\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} ]

Для правой части: [ -\left(-\frac{10}{3}\right) - 7 = \frac{10}{3} - \frac{21}{3} = -\frac{11}{3} ] [ \left(-\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} ]

Обе стороны равны, значит, (x = -\frac{10}{3}) — это тоже решение.

Таким образом, два решения уравнения: (x = 4) и (x = -\frac{10}{3}).