Сформулируйте определение числовой функции одной переменной.

Числовая функция одной переменной - это правило, которому каждому элементу из множества значений независимой переменной ставится в соответствие ровно один элемент из множества значений функции.

Числовая функция одной переменной — это правило, по которому каждому значению независимой переменной ( x ) из некоторого множества сопоставляется единственное значение зависимой переменной ( y ). Формально, функция может быть представлена как отображение из множества ( X ) в множество ( Y ), где ( X ) называется областью определения функции, а ( Y ) — множеством значений функции.

Чтобы лучше понять, что такое числовая функция, рассмотрим несколько ключевых аспектов:

1. Область определения: Это множество всех значений, которые может принимать независимая переменная ( x ). Область определения обычно обозначается как ( D(f) ), где ( f ) — функция. Например, для функции ( f(x) = \frac{1}{x} ), область определения — все числа, кроме нуля, поскольку деление на ноль не определено.

2. Множество значений: Это множество всех значений, которые может принимать функция ( f(x) ). Оно обозначается как ( E(f) ).

3. Задание функции: Функция может быть задана различными способами:

   • Аналитически: с помощью формулы, например, ( f(x) = x^2 + 3x + 2 ).
   • Графически: с помощью графика, который показывает, как значения функции зависят от значений ( x ).
   • Таблично: с помощью таблицы, где перечислены значения ( x ) и соответствующие им значения ( f(x) ).
   • Словесно: с помощью описания правила, например, "функция сопоставляет каждому числу его квадрат".

4. Единственность значения: Для каждого ( x ) из области определения соответствует только одно значение ( y ). Это свойство отличает функции от общих отображений, где одному значению ( x ) могут соответствовать несколько значений ( y ).

5. Непрерывность и разрывность: Функции могут быть непрерывными, где малым изменениям ( x ) соответствуют малые изменения ( f(x) ), или разрывными, где существуют "скачки" или "пробелы" в значениях функции.

6. Примеры функций: Линейные функции (например, ( f(x) = 2x + 1 )), квадратичные функции (например, ( f(x) = x^2 - 4x + 4 )), тригонометрические функции (например, ( f(x) = \sin x )), показательные функции (например, ( f(x) = 2^x )), и логарифмические функции (например, ( f(x) = \log x )).

Таким образом, числовая функция одной переменной — это фундаментальное понятие в математике, которое описывает зависимость между двумя числовыми величинами, задаваемую определённым математическим правилом.

Числовая функция одной переменной - это правило, которое каждому элементу из области определения (обычно множеству действительных чисел) сопоставляет одно и только одно число из множества значений. Другими словами, это отображение, которое каждому элементу x из области определения ставит в соответствие число f(x) из множества значений. Функция может быть задана алгебраическим выражением, графиком, таблицей значений или другим способом.