(Sin альфа)\(1-cos альфа)=(1+cos альфа)\(sin альфа)- докажите тождество

Чтобы доказать тождество (\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}), начнём с преобразований левой и правой частей уравнения.

Левая часть: [ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} ]

Правая часть: [ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ]

Для начала, рассмотрим левую часть. Умножим числитель и знаменатель на ((1 + \cos \alpha)):

[ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} \cdot \frac{1 + \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} ]

Это даст:

[ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} ]

Теперь упростим знаменатель. Используем формулу разности квадратов:

[ (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha ]

Следовательно:

[ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha} ]

Напомним, что (1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha) (по основному тригонометрическому тождеству (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1)). Таким образом, имеем:

[ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} ]

Теперь разделим (\sin \alpha) в числителе и знаменателе:

[ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ]

Это выражение идентично правой части:

[ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ]

Таким образом, мы получили, что:

[ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ]

Тождество доказано.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой приведения: (sin альфа) / (1 - cos альфа) = (1 + cos альфа) / (sin альфа)

Рассмотрим левую часть: (sin альфа) / (1 - cos альфа) = (sin альфа) / (1 - cos альфа) (1 + cos альфа) / (1 + cos альфа) = (sin альфа (1 + cos альфа)) / ((1 - cos альфа)(1 + cos альфа)) = (sin альфа + sin альфа cos альфа) / (1 - cos^2 альфа) = (sin альфа + sin альфа cos альфа) / sin^2 альфа = sin альфа (1 + cos альфа) / sin^2 альфа = (sin альфа cos альфа + sin альфa) / sin^2 альфа = cos альфа / sin альфа + 1 / sin альфа = cot альфа + csc альфа

Рассмотрим правую часть: (1 + cos альфа) / (sin альфа) = (1 + cos альфа) / (sin альфа) (1 - cos альфа) / (1 - cos альфа) = ((1 + cos альфа)(1 - cos альфа)) / ((sin альфа)(1 - cos альфа)) = (1 - cos^2 альфа) / (sin альфa - sin альфa cos альфa) = sin^2 альфа / sin альфa - sin альфa cos альфa = sin альфa + sin альфa cos альf = sin альфa (1 + cos альфa) = sin альфa cos альфa + sin альфa = cos альфa / sin альфa + 1 / sin альфa = cot альфa + csc альфa

Таким образом, мы доказали исходное тождество: (sin альфа) / (1 - cos альфа) = (1 + cos альфа) / (sin альфa)