Сколько решений имеет система: 3x-6y=5 2x+3y=7
Сколько решений имеет система: 3x-6y=5 2x+3y=7
Система уравнений имеет одно решение.
Для нахождения количества решений системы линейных уравнений, необходимо рассмотреть, являются ли уравнения совместными (имеют хотя бы одно решение) и независимыми (не совпадают, не пропорциональны).
Нам дана система уравнений:
Сначала проверим характеристику коэффициентов. Для этого сравним коэффициенты при (x), (y) и свободные члены в обоих уравнениях.
Обозначим уравнения в общем виде: [ a_1x + b_1y = c_1 ] [ a_2x + b_2y = c_2 ] где:
Теперь вычислим отношения коэффициентов: [ \frac{a_1}{a_2}, \quad \frac{b_1}{b_2}, \quad \frac{c_1}{c_2}. ]
Посчитаем: [ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{3} = -2, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{7}. ]
Эти три отношения не равны между собой ((\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2})). Это говорит о том, что уравнения не пропорциональны. Следовательно, система линейных уравнений является совместной и независимой.
Так как система совместная и независимая, она имеет единственное решение. Найдём это решение.
Уравнения:
Из второго уравнения выразим (y): [ 2x + 3y = 7 \quad \Rightarrow \quad 3y = 7 - 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{7 - 2x}{3}. ]
Теперь подставим выражение для (y) в первое уравнение: [ 3x - 6\left(\frac{7 - 2x}{3}\right) = 5. ]
Упростим: [ 3x - 2(7 - 2x) = 5. ] [ 3x - 14 + 4x = 5. ] [ 7x - 14 = 5. ] [ 7x = 19. ] [ x = \frac{19}{7}. ]
Теперь найдём (y), подставив (x = \frac{19}{7}) во второе уравнение: [ y = \frac{7 - 2x}{3}. ] [ y = \frac{7 - 2\left(\frac{19}{7}\right)}{3}. ] [ y = \frac{7 - \frac{38}{7}}{3}. ] [ y = \frac{\frac{49}{7} - \frac{38}{7}}{3}. ] [ y = \frac{\frac{11}{7}}{3}. ] [ y = \frac{11}{21}. ]
Система уравнений имеет одно решение: [ x = \frac{19}{7}, \quad y = \frac{11}{21}. ]
Для решения системы уравнений, состоящей из двух линейных уравнений, мы можем использовать различные методы: метод подстановки, метод сложения или матричный метод. В данном случае мы рассмотрим метод подстановки и метод сложения.
Система уравнений имеет следующий вид:
1) ( 3x - 6y = 5 )
2) ( 2x + 3y = 7 )
Для удобства мы можем выразить ( x ) через ( y ) из первого уравнения:
[ 3x - 6y = 5 \implies 3x = 5 + 6y \implies x = \frac{5 + 6y}{3} ]
Теперь подставим это значение ( x ) во второе уравнение:
[ 2\left(\frac{5 + 6y}{3}\right) + 3y = 7 ]
Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби:
[ 2(5 + 6y) + 9y = 21 ]
Раскроем скобки:
[ 10 + 12y + 9y = 21 ]
Соберем все ( y ) в одну сторону:
[ 21y + 10 = 21 ]
Вычтем 10 из обеих сторон:
[ 21y = 11 ]
Разделим на 21:
[ y = \frac{11}{21} ]
Теперь, подставим найденное значение ( y ) обратно в выражение для ( x ):
[ x = \frac{5 + 6\left(\frac{11}{21}\right)}{3} ]
Вычислим:
[ x = \frac{5 + \frac{66}{21}}{3} = \frac{\frac{105}{21} + \frac{66}{21}}{3} = \frac{\frac{171}{21}}{3} = \frac{171}{63} = \frac{57}{21} = \frac{19}{7} ]
Таким образом, мы нашли одно решение:
[ x = \frac{19}{7}, \quad y = \frac{11}{21} ]
Мы можем проверить, удовлетворяет ли найденное решение обоим уравнениям:
1) Подставим ( x ) и ( y ) в первое уравнение:
[ 3\left(\frac{19}{7}\right) - 6\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{57}{7} - \frac{66}{21} ]
Приведем к общему знаменателю (21):
[ \frac{171}{21} - \frac{66}{21} = \frac{105}{21} = 5 ]
2) Теперь подставим во второе уравнение:
[ 2\left(\frac{19}{7}\right) + 3\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{38}{7} + \frac{33}{21} ]
Приведем к общему знаменателю (21):
[ \frac{114}{21} + \frac{33}{21} = \frac{147}{21} = 7 ]
Оба уравнения выполняются, значит, система имеет единственное решение:
[ (x, y) = \left(\frac{19}{7}, \frac{11}{21}\right) ]
Таким образом, ответ на вопрос: система имеет одно решение.
