Сократите дробь 3p²+p-2/4-9p²

Для сокращения данной дроби нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители: 3p² + p - 2 = (3p - 2)(p + 1) 4 - 9p² = (2 - 3p)(2 + 3p)

Теперь можем записать исходную дробь в виде: (3p - 2)(p + 1) / (2 - 3p)(2 + 3p)

Далее проводим сокращение множителей, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе: (3p - 2)(p + 1) / (2 - 3p)(2 + 3p) = (3p - 2)(p + 1) / ((2 - 3p)(2 + 3p))

Таким образом, мы сократили данную дробь до более простого вида.

Для того чтобы сократить дробь (\frac{3p^2 + p - 2}{4 - 9p^2}), начнем с факторизации числителя и знаменателя.

Факторизация числителя: Числитель (3p^2 + p - 2) можно разложить на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения, решив уравнение (3p^2 + p - 2 = 0). Используем формулу для корней квадратного уравнения: [ p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 3 ), ( b = 1 ), ( c = -2 ).

Рассчитаем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 1 + 24 = 25. ] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня: [ p_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, ] [ p_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1. ]

Таким образом, (3p^2 + p - 2) можно разложить как (3(p - (-1))(p - \frac{2}{3}) = 3(p + 1)(p - \frac{2}{3})).

Факторизация знаменателя: Знаменатель (4 - 9p^2) является разностью квадратов и может быть представлен в виде: [ 4 - 9p^2 = (2)^2 - (3p)^2 = (2 - 3p)(2 + 3p). ]

Теперь дробь выглядит так: [ \frac{3(p + 1)(p - \frac{2}{3})}{(2 - 3p)(2 + 3p)}. ]

Сокращение дроби: Можно заметить, что множители не сокращаются, так как они не имеют общих факторов в числителе и знаменателе.

Итак, сокращенная форма дроби: [ \frac{3(p + 1)(p - \frac{2}{3})}{(2 - 3p)(2 + 3p)}. ] Это и есть окончательный ответ.