Сократите дробь 3x²+16x-12/10-13x-3x²

Чтобы сократить дробь (\frac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 13x - 3x^2}), необходимо сначала разложить числитель и знаменатель на множители, если это возможно.

Шаг 1: Разложение числителя

Числитель: (3x^2 + 16x - 12).

Мы ищем два числа, произведение которых равно (3 \times (-12) = -36), и сумма которых равна (16).

Такими числами являются (18) и (-2).

Разложим многочлен:

[ 3x^2 + 16x - 12 = 3x^2 + 18x - 2x - 12 ]

Теперь сгруппируем и вынесем общий множитель из каждой пары:

[ = 3x(x + 6) - 2(x + 6) ]

Вынесем общий множитель ((x + 6)):

[ = (3x - 2)(x + 6) ]

Шаг 2: Разложение знаменателя

Знаменатель: (10 - 13x - 3x^2).

Перепишем в стандартном виде: (-3x^2 - 13x + 10).

Ищем два числа, произведение которых равно (-3 \times 10 = -30), и сумма которых равна (-13).

Этими числами будут (-15) и (2).

Разложим многочлен:

[ -3x^2 - 13x + 10 = -3x^2 - 15x + 2x + 10 ]

Сгруппируем и вынесем общий множитель из каждой пары:

[ = -3x(x + 5) + 2(x + 5) ]

Вынесем общий множитель ((x + 5)):

[ = (-3x + 2)(x + 5) ]

Шаг 3: Сокращение дроби

Теперь мы имеем дробь:

[ \frac{(3x - 2)(x + 6)}{(-3x + 2)(x + 5)} ]

Обратите внимание, что (3x - 2) и (-3x + 2) не являются одинаковыми выражениями. Однако они связаны следующим образом:

[ -1 \cdot (3x - 2) = -3x + 2 ]

Поэтому:

[ \frac{(3x - 2)(x + 6)}{(-3x + 2)(x + 5)} = \frac{(3x - 2)(x + 6)}{-1 \cdot (3x - 2)(x + 5)} ]

Сокращаем (3x - 2):

[ = \frac{(x + 6)}{-1 \cdot (x + 5)} ]

Итак, упрощенная форма дроби:

[ = -\frac{x + 6}{x + 5} ]

Таким образом, сокращенная дробь равна (-\frac{x + 6}{x + 5}).

Для сокращения данной дроби необходимо сначала выполнить операции с числителем и знаменателем. В данном случае, сначала приведем числитель к виду (ax² + bx + c), разложив его на множители:

3x² + 16x - 12 = (3x - 2)(x + 6)

Теперь приведем знаменатель к тому же виду:

10 - 13x - 3x² = -(3x² + 13x - 10) = - (3x - 2)(x + 5)

Теперь дробь примет вид:

(3x - 2)(x + 6) / - (3x - 2)(x + 5)

После этого можно сократить общие множители в числителе и знаменателе, в данном случае (3x - 2), и получится окончательный результат:

(x + 6) / - (x + 5)