Сократите дробь 8x²-2x-1 / 16x²+8x+1

Чтобы сократить дробь $\frac{8x^2-2x-1}{16x^2+8x+1}$, нужно найти общий множитель в числителе и знаменателе и сократить его. Для этого сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя

Числитель — это квадратное выражение: $8x^2-2x-1$.

1. Найдем корни квадратного уравнения $8x^2-2x-1=0$. Используем формулу дискриминанта: $D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 8\cdot (-1)=4+32=36$ $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 6}{16}$ $x_1=\frac{8}{16}=\frac{1}{2},x_2=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}$

2. Разложим на множители, используя найденные корни: $8x^2-2x-1=8(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})$

Разложение знаменателя

Знаменатель — это квадратное выражение: $16x^2+8x+1$.

1. Найдем корни квадратного уравнения $16x^2+8x+1=0$. Используем формулу дискриминанта: $D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 16\cdot 1=64-64=0$ Уравнение имеет один корень $кратный$: $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{32}=-\frac{1}{4}$

2. Разложим на множители, используя найденный корень: $16x^2+8x+1=(4x+1{)}^2$

Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, исходная дробь выглядит так: $\frac{8(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})}{(4x+1{)}^2}$

Обратите внимание, что $x+\frac{1}{4}=\frac{4x+1}{4}$, следовательно, $x+\frac{1}{4}$ является множителем в знаменателе:

$\frac{8(x-\frac{1}{2})(\frac{4x+1}{4})}{(4x+1{)}^2}=\frac{8(x-\frac{1}{2})}{4(4x+1)}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель 4:

$=\frac{2(x-\frac{1}{2})}{4x+1}$

Таким образом, сокращенная форма дроби: $\frac{2(2x-1)}{4x+1}$

Для сокращения дроби 8x²-2x-1 / 16x²+8x+1 необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и затем сократить общие множители.

Для числителя: 8x²-2x-1 можно разложить как $4x+1$$2x-1$. Для знаменателя: 16x²+8x+1 можно разложить как $4x+1$$4x+1$.

Таким образом, исходная дробь равна $(4x+1$$2x-1$) / $(4x+1$$4x+1$). Общие множители $4x+1$ сокращаются, и в итоге остается дробь $2x-1$ / $4x+1$.