Сократите дробь 8x²-2x-1 / 16x²+8x+1

Чтобы сократить дробь (\frac{8x^2 - 2x - 1}{16x^2 + 8x + 1}), нужно найти общий множитель в числителе и знаменателе и сократить его. Для этого сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя

Числитель — это квадратное выражение: (8x^2 - 2x - 1).

1. Найдем корни квадратного уравнения (8x^2 - 2x - 1 = 0). Используем формулу дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{16} ] [ x_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} ]

2. Разложим на множители, используя найденные корни: [ 8x^2 - 2x - 1 = 8(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4}) ]

Разложение знаменателя

Знаменатель — это квадратное выражение: (16x^2 + 8x + 1).

1. Найдем корни квадратного уравнения (16x^2 + 8x + 1 = 0). Используем формулу дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0 ] Уравнение имеет один корень (кратный): [ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4} ]

2. Разложим на множители, используя найденный корень: [ 16x^2 + 8x + 1 = (4x + 1)^2 ]

Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, исходная дробь выглядит так: [ \frac{8(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4})}{(4x + 1)^2} ]

Обратите внимание, что (x + \frac{1}{4} = \frac{4x + 1}{4}), следовательно, (x + \frac{1}{4}) является множителем в знаменателе:

[ \frac{8(x - \frac{1}{2})(\frac{4x + 1}{4})}{(4x + 1)^2} = \frac{8(x - \frac{1}{2})}{4(4x + 1)} ]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель 4:

[ = \frac{2(x - \frac{1}{2})}{4x + 1} ]

Таким образом, сокращенная форма дроби: [ \frac{2(2x - 1)}{4x + 1} ]

Для сокращения дроби 8x²-2x-1 / 16x²+8x+1 необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и затем сократить общие множители.

Для числителя: 8x²-2x-1 можно разложить как (4x+1)(2x-1). Для знаменателя: 16x²+8x+1 можно разложить как (4x+1)(4x+1).

Таким образом, исходная дробь равна ((4x+1)(2x-1)) / ((4x+1)(4x+1)). Общие множители (4x+1) сокращаются, и в итоге остается дробь (2x-1) / (4x+1).