Сократите дробь: a^4-a^3+a^2-a+1 a^5+1 Очень,Очень .Помогите завтра на экзаменя похожее будет,а я не...

Давай разберем твою задачу пошагово! Конечно, я помогу разобраться.

Дано:

Сократить дробь:

[ \frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{a^5 + 1} ]

Решение:

Шаг 1. Упростим знаменатель (a^5 + 1).

Обратим внимание, что (a^5 + 1) — это сумма кубов:

[ a^5 + 1 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) ]

Эта формула — стандартное разложение суммы кубов: (x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)), только здесь (x = a^{5/3}) и (y = 1).

Теперь дробь примет вид:

[ \frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}. ]

Шаг 2. Сократим дробь.

Мы видим, что числитель (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) совпадает с одним из множителей в знаменателе. Это значит, что мы можем сократить дробь: [ \frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)} = \frac{1}{a + 1}, ]

где (a + 1 \neq 0) (то есть (a \neq -1), чтобы не было деления на ноль).

Итог:

После сокращения дробь упрощается до:

[ \frac{1}{a + 1}. ]

Ответ:

[ \boxed{\frac{1}{a + 1}} ]

Как это поможет на экзамене?

1. Обрати внимание на знаменатель. Если видишь выражения вроде (a^n + b^n), подумай о разложении на множители. Например:

   • (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)),
   • (a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)).

2. Проверь общие множители. После разложения на множители часто можно заметить, что числитель и знаменатель имеют общий множитель, который нужно сократить.

3. Не забудь про область допустимых значений. В данном случае нельзя, чтобы (a = -1), так как это приводит к делению на ноль.

Удачи на экзамене! Надеюсь, теперь задача понятна.

Чтобы сократить дробь (\frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{a^5 + 1}), начнем с анализа числителя и знаменателя.

Шаг 1: Факторизация числителя

1. Числитель: (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)

Постараемся разложить его на множители. Мы можем заметить, что это многочлен 4-й степени. Для поиска корней можно попробовать подставить некоторые значения (a).

Подставим (a = 1):

[ 1^4 - 1^3 + 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 \quad (\text{не корень}) ]

Подставим (a = -1):

[ (-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \quad (\text{не корень}) ]

Подставим (a = \omega) (где (\omega = e^{2\pi i/5}) — корень единицы 5-й степени):

В этом случае, числитель можно разложить следующим образом:

[ a^4 - a^3 + a^2 - a + 1 = \frac{a^5 - 1}{a - 1} \quad \text{(при } a \neq 1\text{)} ]

Это свойство связано с периодичностью корней единицы.

Шаг 2: Факторизация знаменателя

1. Знаменатель: (a^5 + 1)

Знаменатель можно разложить следующим образом:

[ a^5 + 1 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) ]

Шаг 3: Сокращение дроби

Теперь мы можем подставить разложенные формы в дробь:

[ \frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{a^5 + 1} = \frac{\frac{a^5 - 1}{a - 1}}{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)} ]

Мы видим, что (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) сокращается:

[ = \frac{a^5 - 1}{(a - 1)(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)} = \frac{a^5 - 1}{(a - 1)(a + 1)} ]

Так как (a^5 - 1) можно разложить на множители:

[ a^5 - 1 = (a - 1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) ]

Заключение

Таким образом:

[ \frac{(a - 1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^4 + a^3 + a^2 + a + 1}{a + 1} \quad (a \neq 1) ]

Итак, окончательный ответ будет:

[ \frac{a^4 + a^3 + a^2 + a + 1}{a + 1} ]

Это и есть сокращенная форма данной дроби. Удачи на экзамене!

Чтобы сократить дробь (\frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{a^5 + 1}), начнем с факторизации числителя и знаменателя.

1. Числитель: (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) можно оставить в таком виде, так как он не имеет простых корней (можно проверить делением).

2. Знаменатель: (a^5 + 1) можно разложить по формуле суммы кубов: [ a^5 + 1 = a^5 + 1^5 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) ]

Теперь подставим это в дробь: [ \frac{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)} ]

Теперь мы можем сократить (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) в числителе и знаменателе: [ \frac{1}{a + 1} ]

Таким образом, сокращенная форма дроби: [ \frac{1}{a + 1} ]