Сократите дробь x^3+4x^2-9x-36 ------------------------- (x-3)(x+4)

Для сокращения данной дроби необходимо разложить числитель на множители и применить правило сокращения общих множителей.

x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x - 3)(x + 4)(x + 3)

Теперь дробь будет выглядеть следующим образом:

(x^3 + 4x^2 - 9x - 36) / ((x - 3)(x + 4)) = ((x - 3)(x + 4)(x + 3)) / ((x - 3)(x + 4)) = x + 3

Таким образом, после сокращения получаем, что исходная дробь равна x + 3.

(x+4)

Чтобы сократить дробь (\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{(x-3)(x+4)}), нужно выполнить следующие шаги:

1. Разложение числителя на множители: Нам нужно переписать числитель (x^3 + 4x^2 - 9x - 36) в виде произведения полиномов.

   Применим метод группировки. Разделим числитель на две части:

   [ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x^3 + 4x^2) + (-9x - 36) ]

   Теперь из каждой части вынесем общий множитель:

   [ = x^2(x + 4) - 9(x + 4) ]

   Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель ((x + 4)):

   [ = (x^2 - 9)(x + 4) ]

2. Разложение квадратного трехчлена: Далее, мы можем разложить (x^2 - 9) как разность квадратов:

   [ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) ]

   Таким образом, числитель можно переписать как:

   [ (x^2 - 9)(x + 4) = (x - 3)(x + 3)(x + 4) ]

3. Упрощение дроби: Подставим разложение числителя в исходную дробь:

   [ \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} ]

4. Сокращение общих множителей: Теперь мы можем сократить общие множители ( (x - 3) ) и ( (x + 4) ) в числителе и знаменателе:

   [ \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} = x + 3 \quad \text{(при условии, что } x \neq 3 \text{ и } x \neq -4\text{)} ]

Итак, сокращенная дробь:

[ \frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{(x-3)(x+4)} = x + 3 \quad \text{(при } x \neq 3 \text{ и } x \neq -4\text{)} ]

Такое условие необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль.