Сокротите дроб: √3-3 _____ √5-√15

Чтобы сократить дробь (\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}), нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого можно воспользоваться методом умножения на сопряженное выражение.

Сопряженное выражение для знаменателя (\sqrt{5} - \sqrt{15}) будет (\sqrt{5} + \sqrt{15}). Умножим числитель и знаменатель дроби на это сопряженное выражение:

[ \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}} ]

Теперь выполним умножение в числителе и знаменателе отдельно.

Числитель:

((\sqrt{3} - 3)(\sqrt{5} + \sqrt{15}))

Применим распределительное свойство (раскроем скобки):

[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} - 3 \cdot \sqrt{5} - 3 \cdot \sqrt{15} ]

[ = \sqrt{15} + \sqrt{45} - 3\sqrt{5} - 3\sqrt{15} ]

[ = \sqrt{15} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 3\sqrt{15} ]

[ = -2\sqrt{15} ]

Знаменатель:

((\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{15}))

Это разность квадратов, которая упрощается до:

[ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{15})^2 ]

[ = 5 - 15 ]

[ = -10 ]

Итоговая дробь:

Теперь мы подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

[ \frac{-2\sqrt{15}}{-10} ]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель, который равен 2:

[ \frac{\sqrt{15}}{5} ]

Таким образом, сокращенная форма данной дроби — это (\frac{\sqrt{15}}{5}).

Для сокращения данной дроби умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение дроби, чтобы избавиться от иррациональных знаменателей в знаменателе.

(√3 - 3) / (√5 - √15) * (√5 + √15) / (√5 + √15) = (√15 + 3√5 - 3√3 - 9) / (5 - 15) = (√15 + 3√5 - 3√3 - 9) / (-10) = -(√15 + 3√5 - 3√3 - 9) / 10

Таким образом, сокращенная дробь равна -(√15 + 3√5 - 3√3 - 9) / 10.