Sqrt 2* (sin 40 * cos 5 - sin 230 * sin 5 )/ (sin 25 * sin 35 - sin 115 * cos 35 ) Решите пожалуйста)

Для решения данного выражения нам потребуется использовать тригонометрические формулы и свойства корней. Давайте разберемся по шагам.

1. Преобразуем выражение:

sqrt 2 (sin 40 cos 5 - sin 230 sin 5 )/ (sin 25 sin 35 - sin 115 * cos 35 )

1. Воспользуемся тригонометрическими формулами:

   • sin(230) = sin(180 + 50) = -sin(50)
   • sin(115) = sin(90 + 25) = cos(25)

2. Подставим полученные значения в выражение:

sqrt 2 (sin 40 cos 5 - (-sin 50) sin 5 )/ (sin 25 sin 35 - cos 25 * cos 35 )

1. Далее упростим числитель и знаменатель, используя тригонометрические формулы и свойства корней:

(sin 40 cos 5 + sin 50 sin 5 )/ (sin 25 sin 35 + cos 25 cos 35 )

1. Раскроем произведение синусов и косинусов в числителе и знаменателе:

(sin(40+5))/ (sin(25+35)) = sin 45 / sin 60 = sqrt(2) / (sqrt(3)/2) = 2/3 * sqrt(2)

Итак, итоговый ответ на выражение sqrt 2 (sin 40 cos 5 - sin 230 sin 5 )/ (sin 25 sin 35 - sin 115 cos 35 ) равен 2/3 sqrt(2).

Чтобы решить выражение

[ \sqrt{2} \cdot \frac{\sin 40^\circ \cdot \cos 5^\circ - \sin 230^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\sin 25^\circ \cdot \sin 35^\circ - \sin 115^\circ \cdot \cos 35^\circ}, ]

сначала упростим его, используя тригонометрические тождества.

Числитель

Числитель: (\sin 40^\circ \cdot \cos 5^\circ - \sin 230^\circ \cdot \sin 5^\circ).

1. Упростим (\sin 230^\circ): [ \sin 230^\circ = \sin (180^\circ + 50^\circ) = -\sin 50^\circ. ]

2. Подставим это в числитель: [ \sin 40^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 50^\circ \cdot \sin 5^\circ. ]

3. Используем формулу для разности синусов: [ \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \sin(A + B). ]

   Здесь (A = 40^\circ) и (B = 5^\circ), поэтому: [ \sin 40^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 40^\circ \cdot \sin 5^\circ = \sin(40^\circ + 5^\circ) = \sin 45^\circ. ]

4. Таким образом, числитель равен (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}).

Знаменатель

Знаменатель: (\sin 25^\circ \cdot \sin 35^\circ - \sin 115^\circ \cdot \cos 35^\circ).

1. Упростим (\sin 115^\circ): [ \sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ. ]

2. Подставим это в знаменатель: [ \sin 25^\circ \cdot \sin 35^\circ - \sin 65^\circ \cdot \cos 35^\circ. ]

3. Используем формулу для разности синусов: [ \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)], ] [ \sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]. ]

   Здесь (A = 25^\circ, B = 35^\circ), и (A = 65^\circ, B = 35^\circ), поэтому: [ \sin 25^\circ \cdot \sin 35^\circ = \frac{1}{2}[\cos(25^\circ - 35^\circ) - \cos(25^\circ + 35^\circ)] = \frac{1}{2}[\cos(-10^\circ) - \cos 60^\circ], ] [ \sin 65^\circ \cdot \cos 35^\circ = \frac{1}{2}[\sin(65^\circ + 35^\circ) + \sin(65^\circ - 35^\circ)] = \frac{1}{2}[\sin 100^\circ + \sin 30^\circ]. ]

4. Упростим: [ \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ, \quad \sin 100^\circ = \cos 10^\circ, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. ]

   Подставим значения: [ \sin 25^\circ \cdot \sin 35^\circ = \frac{1}{2}[\cos 10^\circ - \frac{1}{2}], ] [ \sin 65^\circ \cdot \cos 35^\circ = \frac{1}{2}[\cos 10^\circ + \frac{1}{2}]. ]

5. Вычислим разность: [ \frac{1}{2}[\cos 10^\circ - \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}[\cos 10^\circ + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2}[-1]. ]

   Таким образом, знаменатель равен (-\frac{1}{2}).

Итоговое выражение

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение: [ \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-2\right) = -2. ]

Таким образом, значение выражения равно (-2).