Сравните числа: 2п/3 и корень 4-ой степени из 15

Чтобы сравнить числа ( \frac{2\pi}{3} ) и ( \sqrt[4]{15} ), начнем с их приближенных значений.

1. Вычислим значение ( \frac{2\pi}{3} ). Используем приближенное значение числа ( \pi \approx 3.14 ): [ \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \times 3.14}{3} \approx \frac{6.28}{3} \approx 2.0933 ]

2. Теперь вычислим значение ( \sqrt[4]{15} ). Чтобы найти ( \sqrt[4]{15} ), можем сначала найти ( \sqrt{15} ), а затем взять корень из этого значения. Приблизительно: [ \sqrt{15} \approx 3.87 \quad (\text{так как } 3.87^2 \approx 15) ] Теперь найдем ( \sqrt[4]{15} ): [ \sqrt[4]{15} = \sqrt{\sqrt{15}} \approx \sqrt{3.87} \approx 1.968 ]

3. Сравнение чисел: Теперь у нас есть: [ \frac{2\pi}{3} \approx 2.0933 \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{15} \approx 1.968 ]

   Мы видим, что: [ 2.0933 > 1.968 ]

Таким образом, ( \frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15} ).

1. Вывод: Мы можем заключить, что ( \frac{2\pi}{3} ) больше, чем ( \sqrt[4]{15} ).

Давайте сравним числа ( \frac{2\pi}{3} ) и ( \sqrt[4]{15} ).

1. Приблизительное значение ( \frac{2\pi}{3} ):

Значение числа ( \pi ) примерно равно ( 3.14159 ). Подставим это значение в дробь ( \frac{2\pi}{3} ): [ \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{3} = \frac{6.28318}{3} \approx 2.09439. ]

Таким образом, ( \frac{2\pi}{3} \approx 2.09439 ).

2. Приблизительное значение ( \sqrt[4]{15} ):

Корень четвёртой степени из числа ( 15 ) можно найти как число, которое в четвёртой степени даёт ( 15 ), то есть ( x^4 = 15 ). Для вычислений найдём примерное приближение.

[ \sqrt[4]{15} = (15)^{1/4} = (15^{1/2})^{1/2} = \sqrt{\sqrt{15}}. ]

1. Сначала найдём квадратный корень из ( 15 ): ( \sqrt{15} \approx 3.87298 ) (приблизительно).
2. Теперь найдём квадратный корень из ( 3.87298 ): ( \sqrt{3.87298} \approx 1.969 ).

Таким образом, ( \sqrt[4]{15} \approx 1.969 ).

3. Сравнение:

Теперь у нас есть приближённые значения:

• ( \frac{2\pi}{3} \approx 2.09439 ),
• ( \sqrt[4]{15} \approx 1.969 ).

Очевидно, что ( 2.09439 > 1.969 ). Следовательно: [ \frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15}. ]

4. Проверка через неравенство:

Для строгого математического доказательства можно рассмотреть неравенство: [ \frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15}. ] Возведём обе стороны в четвёртую степень, чтобы избавиться от корня: [ \left( \frac{2\pi}{3} \right)^4 > 15. ]

Вычислим левую часть: [ \left( \frac{2\pi}{3} \right)^4 = \left( \frac{2 \cdot 3.14159}{3} \right)^4 = (2.09439)^4 \approx 19.316. ]

Теперь сравним: [ 19.316 > 15. ]

Неравенство выполняется, что подтверждает, что ( \frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15} ).

Итог:

Число ( \frac{2\pi}{3} ) больше числа ( \sqrt[4]{15} ).

Чтобы сравнить числа ( \frac{2\pi}{3} ) и ( \sqrt[4]{15} ), можно приблизительно оценить их значения.

1. ( \pi ) примерно равно 3.14, следовательно: [ \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \times 3.14}{3} \approx \frac{6.28}{3} \approx 2.093 ]

2. Рассчитаем ( \sqrt[4]{15} ): [ \sqrt[4]{15} = 15^{1/4} \approx 1.967 ]

Теперь сравним: [ \frac{2\pi}{3} \approx 2.093 \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{15} \approx 1.967 ]

Таким образом, ( \frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15} ).